Kongruenzsätze erforschen

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Was bedeutet Kongruenz? Wann sind zwei Figuren F1 und F2 (wie zum Beisipel zwei Vielecke oder zwei Dreiecke) kongruent?

Definition

"Zwei Figuren heißen zueinander kongruent [deckungsgleich], wenn man sie mit einer oder mehrerer Achsenspiegelungen, Verschiebungen, Punktspiegelungen oder Drehungen aufeinander abbilden kann." (Lambacher Schweizer 7, S.202)

Inhaltsverzeichnis

Kongruenz von Dreiecken erforschen

Frage: Welche Vorgaben müssen gemacht werden, damit Dreiecke eindeutig konstruierbar sind?

Aufgaben

Konstruiere dazu mithilfe einer Geometriesoftware (z.B. GeoGebra) die folgenden Dreiecke und notiere dein Vorgehen jeweils in einer Konstruktionsbeschreibung!

  • a=3,2cm b=5,8cm c=3,4cm
Ist die Konstruktion beliebig vorgegebener Seitenlängen immer lösbar? Um dies zu erforschen, füge zu Beginn deiner Konstruktion einen Schieberegler für die Längen der Seiten a, b und c ein! Welche Voraussetzung(en) müssen erfüllt sein?
  • b=5,5cm c=3,5cm α=60°
  • c=6cm b=7cm β=65°
Variiere die Länge b, indem du zu Beginn einen Schieberegler für die Seite b einfügst. Bestimme nach deiner Konstruktion des Dreiecks jeweils eine Länge für die Seite b, für die es kein / ein / zwei Dreieck(e) mit den obigen Bedingungen gibt!
  • α=45° β=60° c=5,3cm
  • α=35° β=56° γ=89°
Vergleiche deine Konstruktion mit denen deiner Nachbarn, was fällt euch auf?

Forschungsergebnisse

Kongruenz von Dreiecken ist immer dann gegeben, wenn sie paarweise in allen Seitenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen. Doch kann man beobachten, dass bereits bei bestimmten Vorgaben kongruente Dreiecke konstruiert werden können. Es ist also nicht nötig alle Seitenlängen und Winkelgrößen auf paarweise Gleichheit zu prüfen. Diese Erkenntnisse sind in den Kongruenzsätzen formuliert worden:

1. Kongruenzsatz (SSS) "Wenn in zwei Dreiecken entsprechende Seiten gleich lang sind, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent." (Lambacher Schweizer 7, S. 203)

2. Kongruenzsatz (SWS) "Wenn zwei Dreieck in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent." (Lambacher Schweizer 7, S. 206)

3. Kongruenzsatz (SSW) "Wenn zwei Dreieck in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent." (Lambacher Schweizer 7, S. 210)

4. Kongruenzsatz (WSW) "Wenn zwei Dreieck in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent." (Lambacher Schweizer 7, S. 208)

Sind die drei Innenwinkel eines Dreiecks vorgegeben, so kann kein eindeutiges Dreieck konstruiert werden; d.h. zwei Dreiecke mit gleichen Innenwinkeln müssen nicht kongruent zueinander sein.

Kompetenzerwartungen

Prozessbezogene Die Schülerinnen und Schüler

  • verwenden eine Geometriesoftware, wie beispielsweise GeoGebra
  • erforschen geometrische Zusammenhänge

Kompetenzbezogene Die Schülerinnen und Schüler

  • verwenden die Grundbegriffe Punkt, Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius, parallel, senkrecht, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch zur Beschreibung ebener Figuren (hier: Dreiecke)
  • zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen

Quellen

  • Lambacher Schweizer 7. Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium. Ausgabe Nordrhein-Westfalen; Schmid, Weidig; Ernst-Klett Schulbuchverlag; 1998; Stuttgart
  • Geogebra Praktikum von Dr. Peter Scholl [1]
  • Lehrplan NRW Gymnasium G8 Mathematik [2]
  • dtv-Atlas Schulmathematik; Reinhardt; Deutscher Taschenbuch Verlag; 2003; München