Zins und Zinseszins

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Mit Hilfe der folgenden Aufgabe wird die lineare und exponentielle Zunahme behandelt. Dabei wird die Zinseszinsformel hergeleitet. Das Thema der exponentiellen Zunahme wird im Kernlehrplan für die Klasse 9 angegeben, diese Aufgabe kann jedoch schon in Klasse 7 im Rahmen der Zinsrechnung bearbeitet werden.


Aufgabe

Als Madeleine 14 Jahre alt wird, bietet ihre Oma ihr einen Sparplan an. Er soll laufen, bis Madeleine 18 wird. Sie macht die folgenden Angebote:

A 100 € als Startkapital zu Beginn, dann jeden Monat 10 € neu hinzu.

B 100 € als Startkapital zu Beginn, dann jeden Monat 5 % zu dem, was Madeleine bis dahin schon hat.

Hilf Madeleine bei ihrer Entscheidung. Bewerte die Angebote, die ihre Oma macht.

Stift.gif   Aufgabe 1


  • Halte deine Berechnungen in der folgenden Tabelle fest.
  • Vergleiche, wie sich das Kapital jeweils entwickelt.

TabelleZinseszins.jpg

Stift.gif   Aufgabe 2


  • Versuche, für die beiden Angebote jeweils eine Formel zu finden, mit der du das Gesamtkapital nach n Monaten berechnen kannst.
  • Sobald du eine Formel hast, kannst du die Tabelle bequem in deinem GTR erstellen. Beschränke dich dabei auf die Spalten I, II und V.
Information icon.svg Lösung
Information icon.svg Lösung


Stift.gif   Aufgabe 3


  • Stelle deine Ergebnisse graphisch dar.
  • Was würdest du Madeleine raten?
Information icon.svg Lösung


Kompetenzerwartungen

Prozessbezogene Kompetenzen

  • Iteration von Rechenschritten
  • Medien und Werkzeuge verwenden durch den Einsatz von Tabellenkalkulation
  • Modellieren mit Hilfe der Arbeit mit Listen
  • Präsentieren durch die graphische Darstellung der Ergebnisse

Inhaltsbezogene Kompetenzen

  • Herleitung der Zinseszinsformel
  • Beschreibung und Vergleich von Wachstumsprozessen

Didaktischer Kommentar

Die Untersuchung von linearer und „exponentieller“ Zunahme wird zunächst auf dem Arbeitsblatt durchgeführt. Erst nachdem grundlegende Unterschiede erkannt wurden, findet der Wechsel zum GTR statt. Hier kann erkundet werden, wie Ergebnisse wiederaufgerufen werden können und der immer gleiche Rechenschritt durchgeführt werden kann. Des Weiteren wird mit Hilfe geschlossener Formeln das erstellen von Tabellen geübt. Dabei wird für Fall B alltagsbezogen die allgemeine Zinseszinsformel K_n = K_0 \cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n mit K_0 = Startkapital, K_n = Endkapital, p = (fester) Zinssatz pro Monat in Prozent, n = Anzahl der Monate hergeleitet. Diese Aufgabe kann im Rahmen der Zinsrechnung in Klasse 7 durchgeführt werden, obwohl das exponentielle Wachstum erst für die Klasse 9 vorgesehen ist.

Quellenangabe

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen, 2009, http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/materialdatenbank/nutzersicht/materialeintrag.php?matId=2264 [Zugriff am 20.01.2013].