Winkelsätze und Dreieckskonstruktionen

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Winkelsätze und Dreieckskonstruktion

Die Winkelsätze liefern Regeln dafür, wann Winkel die gleiche Größe besitzen. Man spricht auch von Gemeinsamkeiten, weil die Winkel gemeinsame Eigenschaften haben. Der Scheitelwinkel-Satz bezieht sich dabei auf die gegenüberliegenden Winkel zweier sich schneidender Geraden, während sich der Stufenwinkel-Satz und der Wechselwinkel-Satz auf die Winkel beziehen, die entstehen, wenn eine Gerade zwei parallel zueinander verlaufende Geraden schneidet.

Die Konstruktion von Dreiecken ist schon seit langer Zeit Bestandteil des Mathematikunterrichts. Dabei wird von den Schülern neben mathematischen Kompetenzen auch der Umgang mit Geodreieck und Zirkel gefordert. Die Konstruktion von Dreiecken und der anschließende Vergleich von verschiedenen Dreiecken eignet sich in besonderer Weise, um den Schülern den Kongruenzbegriff näher zu bringen.
Der Einsatz neuer Medien bei der Konstruktion erweitert die Handlungsmöglichkeiten im Unterricht. So ist es mittlerweile auch möglich, die Dreieckskonstruktionen mittels Programmen wie zum Beispiel GeoGebra oder mit einem grafikfähigen Taschenrechner wie dem TI-Nspire durchführen zu lassen. Neben der Schulung des Umgangs mit den genannten Medien können auf diese Weise auch einige Beweise leichter gezeigt und nachvollzogen werden.


Sachanalyse

Vorab sollen die relevanten Sätze und Definitionen vorgestellt werden, die notwendig sind, um die untenstehenden Aufgaben bearbeiten zu können.

Winkelsätze

Winkelsätze treffen Aussagen über die Gleichheit von Winkeln an Geradenkreuzungen in einem Geflecht aus sich schneidenden Gruppen von parallelen Geraden.

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so werden die sich gegenüberliegenden Winkel als Scheitelwinkel bezeichnet. Sie sind immer gleich groß.

Stufenwinkel

Zwei zueinander parallel verlaufende Geraden g und g' werden von einer dritten Geraden h geschnitten. Stellen wir uns g und g' waagerecht und h diagonal von links unten nach rechts oben verlaufend. Als Stufenwinkel wird ein Winkelpaar \alpha, \alpha' mit den folgenden Eigenschaften bezeichnet:

Die beiden Winkel liegen jeweils beide

  • ober- oder unterhalb von g bzw. g'
  • auf der gleichen Seite von h (links oder rechts).

Die Bezeichnung Stufenwinkel kommt daher, dass man den zweiten Winkel des Paares durch einen Sprung von der einen zur anderen Geraden erreicht. Sie sind immer gleich groß.

Wechselwinkel

Die Ausgangslage ist die gleiche wie beim Stufenwinkel.

Als Wechselwinkel werden die Winkel des Winkelpaares bezeichnet, welches man durch die Auswahl der zwischen den beiden Schnittpunkten, auf unterschiedlichen Seiten von h liegenden Winkel erhält. Auch Wechselwinkel sind immer gleich groß.


Kongruenzsätze im Dreieck

sss - Seite Seite Seite

„Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Entsprechende Winkel sind dann auch gleich groß.“ (Griesel et al., S. 159)

sws - Seite Winkel Seite

„Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen zweier Seiten und der Größe des von beiden Seiten eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Die Dreiecke stimmen dann auch in der Länge der dritten Seite und in der Größe der beiden anderen Winkel überein.“ (Griesel et al., S. 161)

Ssw - Seite Seite Winkel

"Wenn zwei Dreiecke paarweise in den Längen zweier Seiten und der Größe des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüber liegt, übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Die Dreiecke stimmen dann auch paarweise in den übrigen Stücken überein.“ (Griesel et al., S. 163)

wsw - Winkel Seite Winkel

"Wenn zwei Dreiecke paarweise in der Länge einer Seite und den Größen der anliegenden Winkel übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent zueinander. Die Dreiecke stimmen dann auch paarweise in den übrigen Stücken überein.“ (Griesel et al., S. 165)


Arbeitsaufträge

Aufgabe 1

Vergegenwärtige dir anhand des Geflechtes sich schneidener Familien paralleler Geraden die Begriffe "Scheitelwinkel", "Stufenwinkel" und "Wechselwinkel". Trage sie auf dem dir vorliegenden Arbeitsblatt ein.
Überlege dir auch eine geeignete Kennzeichnung.


Aufgabe 2

  1. Von einem Dreieck ABC sind die Seitenlängen gegeben: a = 5,2 cm, b = 3,6 cm und c = 6,4 cm.
  2. Konstruiere das Dreieck zuerst mit Zirkel und Geodreieck und beschreibe anschließend die Konstruktionsschritte.
  3. Führe nun die Konstruktion mit dem TI-Nspire aus. Gib auch hier eine Beschreibung der Konstruktionsschritte an.
  4. Vergleiche die Lösungsdreiecke. Was stellst du fest?

Datei:Kongruenzsatz SSS TI-nspire.tns


Aufgabe 3

Umkreismittelpunkt Satz: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises (des Kreises, auf dem die Eckpunkte des Dreiecks liegen)

  1. Konstruiere den Punkt mit Geogebra. Wie bist Du vorgegangen?


Aufgabe 4

Inkreismittelpunkt Satz: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.

  1. Konstruiere den Punkt mit Geogebra. Wie bist Du vorgegangen?


Didaktische Analyse

In den Aufgaben erfahren die Schülerinnen und Schüler direkt den Unterschied zwischen einer herkömmlichen Dreieckskonstruktion mittels Geodreieck und Zirkel und den modernen Varianten grafikfähiger Taschenrechner oder einer Geometriesoftware auf dem PC. Somit können die Einsatzgebiete der jeweiligen Konstruktionsmethode eingeschätzt und ihre Vor- und Nachteile abgeschätzt werden.
Gerade für Aufgaben, die geometrische Beweise erfordern, eignet sich die Geometriesoftware besonders gut, da Fehler hier schnell rückgängig gemacht werden können und die Anschaulichkeit besser gegeben ist.

Literatur

Griesel, Postel & Suhr (2004). Elemente der Mathematik, 7. Schuljahr. Hannover: Schroedel.