Einführung des Skalarproduktes

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

"Wir haben gelernt, wie man Vektoren addiert, aber kann man sie auch multiplizieren?"

"Kann man mit geeigneten Werkzeugen Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren berechnen?"

Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler

  • verfügen über elementare geometrische Kenntnisse.

Bezug zum Lehrplan

Aus "Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen":

"Linaere Gleichungssysteme und vektorielle Geometrie:

[...]

Standard-Skalarprodukt mit Anwendungen:

  • Orthogonalität
  • Winkel
  • Längen

von Vektoren."

Eingesetzte Technologie

  • TI-Nspire CAS zur Berechnung der Standard-Skalarproduktanwendungen

Einige Definitionen und Befehle für den TI-Nspire CAS (notwendig für die Aufgaben)

Das Skalarprodukt ist eine mathematische Verknüpfung, genauer eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.

In der Schule wird das Standard-Skalarprodukt behandelt:


 \vec x \cdot \vec y := <\vec x,\vec y> :=  |\vec x| \cdot |\vec y| \cdot cos \angle (\vec x,\vec y) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i = x_1 \cdot y_1 + ... + x_n\cdot y_n


Befehl für das Standard-Skalarprodukt (oder auch Punkt-Produkt, engl. dot product) auf dem TI-Nspire CAS:


<\vec x,\vec y> = dotP ([x_1\ x_2\ ...\ x_n],[y_1\ y_2\ ...\ y_n]) , Wichtig: Beide Vektoren müssen entweder Spalten- oder Zeilenvektoren sein.

|\vec x| = norm([x_1\ x_2\ ...\ x_n]) Länge des Vektors \vec x


mit  \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} , \vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} , \angle (\vec x,\vec y) Winkel zwischen \vec x und  \vec y

Aufgaben

Zur Handhabung des TI-Nspire CAS mit dem Standard-Skalarprodukt nun eine kleine Aufgabe:

Berechnen Sie die Seitenlängen, die Innenwinkel und den Flächeninhalt des Dreieckes ABC mit Hilfe des Skalarproduktes:

a) A(2∣3∣0), B(−1∣10∣−4) und C(−2∣0∣7)

b) A(8∣0∣0), B(−6∣0∣7) und C(6∣15∣−4)


(Besondere Dreiecke?)

Lösungshinweise

  • Um einen Vektor zu erstellen, wähle Matrix (zB 1 Spalte, 3 Zeilen)
  • Definiere Vektoren, zB  a := [x_1\ x_2\ x_3] um späteres "unnötiges Getippe" zu vermeiden.
  •  \angle (\vec x, \vec y) = arccos \frac{<\vec x,\vec y>}{|\vec x| \cdot |\vec y|}
  • Flächeninhalt bel. Dreieck:  F = \frac{1}{2} \cdot \vec x \cdot \vec y \cdot sin \angle (\vec x, \vec y) mit   \vec x , \vec y zwei Seiten des Dreiecks

Didaktischer Kommentar

In dieser Einführung und in der Aufgabe wurden Winkel-, Längen- und Flächeninhaltsberechnungen mit Hilfe des Skalarproduktes erläutert. Die Orthogonalität (zB. zweier Vektoren) kann aus den Aufgaben heraus zum Thema werden, da einer der Winkel im Dreieck 90° beträgt, das Skalarprodukt somit 0 wird. Meistens wird die Anschauung des Skalarproduktes als Projektion des einen auf den anderen Vektor (zB. aus der Physik bekannt, Arbeit = Skalarprodukt aus Kraft und Weg) als Einleitung benutzt und so entsprechende Formel hergeleitet.

Literatur