Einführung von Extrempunkten

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Nachdem die Schülerinnen und Schüler die Ableitungsfunktion kennen gelernt haben, sollen sie schließlich lernen, diese anzuwenden, um Funktionen genauer untersuchen zu können. Dabei kommen den Extrempunkten von Funktionen eine besondere Bedeutung zu, da durch sie Funktionen in Sachzusammenhängen konstruiert und reale Situation nachgebildet werden können.


Inhaltsverzeichnis

Was sind Extrempunkte?

In der Mathematik ist ein Extremwert der Überbegriff für ein lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Als Voraussetzung für die Existenz von Extrempunkten gilt, dass die Funktion stetig ist.

Extrempunkte.jpg

Formale Definition: Lokales Maximum bzw. Minimum

Eine Funktion f besitzt an einer Stelle x_0 ein lokales Maximum (bzw. Minimum) genau dann, wenn es eine Umgebung von x_0 gibt, in der für die Funktionswerte für  x \neq  x_0 gilt:

f(x) \le f(x_0) bzw. f(x) \ge f(x_0).

Der Graph der Funktion hat dann in (x_0/f(x_0)) einen relativen Hoch- bzw. Tiefpunkt.

Voraussetzungen der Schüler

Damit die Schülerinnen und Schüler in das Thema der Extrempunkte eingeführt werden können, benötigen sie bereits fundierte Vorkenntnisse über Graphen, Funktionen und deren Differenzierbarkeit. Des Weiteren sollten die SuS über Fähigkeiten im Bereich der elementaren Geometrie (d.h. Kenntnisse über Steigungsdreiecke usw.) verfügen und sie sollten schon Erfahrungen im Umgang mit GeoGebra oder TI-Nspire CAS gemacht haben.

Bedingungen für Extrempunkte

Die Schülerinnen und Schüler sollten eigenständig an einer Funktion überprüfen, was passiert, wenn man eine Tangente an den Graphen legt und den Berührungspunkt entlang des Graphens, am Extrempunkt vorbei, verschiebt. Dabei sollten sie erkennen, dass genau dann ein Extrempunkt in x_0 vorliegt, wenn die Tangente an dem Graphen parallel zur x-Achse verläuft. Die Steigung ist also 0, d.h.

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0)=0

Dies ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt.

Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und wenn ja, um welche Art es sich handelt, benötigt man ein hinreichendes Kriterium. Dies sollte man mit dem Vorzeichenwechselkriterium begründen. Hierbei geht es darum festzustellen, ob bei der Ableitung ein Vorzeichenwechsel am Extremum stattfindet. Denn dann wechselt die Steigung des Graphens von Plus zu Minus bzw. umgekehrt und es muss ein lokales Minimum bzw. Maximum vorliegen. Diese Bedingung liegt in jedem Fall bei einem Extremum vor.


Vielerorts wird jedoch über die zweite Ableitung argumentiert. Man sagt, dass ein Extremum an der Stelle x_0 vorliege, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle größer oder kleiner als 0 sei. Nimmt man hingegen das Beispiel f(x)=x^4, so erkennt man schnell, dass das Verfahren mit der zweiten Ableitung zu keiner Lösung führt. Da das lokale Minimum x_0=0 ist, müsste also die zweite Ableitung größer als Null für x_0 sein, was allerdings nicht der Fall ist, da

\frac{\partial^2 f}{\partial x}(x_0)=0
.
Maehnrot.jpg
Merke:

Man erkennt, dass das Vorzeichenwechselkriterium mächtiger ist als die Bedingung, welche über die zweite Ableitung argumentiert. Für den Unterricht empfiehlt es sich, dementsprechend als hinreichende Bedingung über den Vorzeichenwechsel und nicht über die zweite Ableitung zu gehen bzw. erst den Vorzeichenwechsel und ggf. zusätzlich das Kriterium der zweiten Ableitung einzuführen.

Mögliche Aufgabenstellung (zur Einführung)

Stift.gif   Aufgabe
  1. Zeichnen Sie den Graphen von f(x)=0,5x^6+0,75x^5+2x^3+3,78x^2-1 mithilfe des TI-Nspire CAS oder GeoGebra. Stellen Sie Vermutungen auf in Bezug auf Extrempunkte. Prüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie die Ableitungsfunktion auf Vorzeichenwechsel untersuchen. Wenn Sie den VZW nicht unmittelbar erkennen, verwenden Sie die Zoomfunktion.
  2. Zeichnen Sie die Funktionen f(x)=x^3, g(x)=x^2 und h(x)=x^3+2x^2. Machen Sie anhand des Verhaltens der Ableitung allgemein gültige Aussagen über die Eigenschaften von Extrema. (Wann liegt ein Hoch-, wann ein Tiefpunkt vor?



Bezug zum Lehrplan

In den Richtlinien und Lehrplänen für die Sekundarstufe II - Gymnasium/ Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen werden die Ideen erläutert, welche der Mathematikunterricht den Schülerinnen und Schülern vermitteln soll. Bei der Einführung von Extrempunkten werden vor allem folgende Ideen in den Vordergrund gestellt:


Idee der Zahl

Bei der Idee der Zahl geht es darum, dass die SuS "zur Reflexion über die weit reichende Bestimmtheit durch Zahlen" angeregt werden. Bei der Einführung in Extremwerte sollen sie also ein Verfahren entwickeln, mit dem sie die Extremwerte entdecken und überprüfen können. Sie reduzieren vorgegebene Funktionen auf ihre wichtigsten Stellen bzw. Werte um diese genauer untersuchen zu können.

- Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein/Westfalen. Ritterbach Verlag (1999)


Idee des Messens

"Das Bedürfnis, Eigenschaften von Dingen, (....) und Entwicklungen mit unseren eigeschränkten Sinnen zu erfassen, quantitativ zu beschreiben und damit zu messen, entsteht aus den verschiedensten Gründen; so sollen z.B. Eigenschaften in räumlich oder zeitlich auseinander liegenden Situationen miteinander verglichen werden oder müssen umfangreiche Datenmengen durch Maßzahlen charakterisiert werden, um sie einer Analyse und Bewertung zugänglich zu machen." Dieser Sachverhalt wird grundlegend erfüllt:

Die Menge der Punkte der Funktion wird geordnet, indem man sich speziell auf die Extrempunkte konzentriert. So kann man über den Verlauf der Funktion genaue Angaben machen. Indem die Schülerinnen und Schüler erst durch das Zeichnen der Funktion mithilfe von GeoGebra oder TI-Nspire CAS die Extrempunkte näherungsweise ermitteln und dadurch ein Verfahren kennenlernen, mit dessen Hilfe sie die genauen Funktionswerte berechenen, erfahren sie ebenfalls, dass "reales Messen mit prinzipiellen Fehlern behaftet" ist. Erst bei der genauen Rechnung erhalten die SuS somit auch genaue Werte für die Extrempunkte.


- Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein/Westfalen. Ritterbach Verlag (1999)

Didaktischer Kommentar

Durch das eigenständige Arbeiten sollen die Schülerinnen und Schüler sich selbstständig mit dem Thema auseinandersetzen. Sie sollen mit Hilfe der Geometriesoftware GeoGebra bzw. mit TI-Nspire CAS vorerst ausprobieren, wie genau die Tangentensteigung (also die Ableitung) mit einem Extrempunkt im Zusammenhang steht. Die genaue Aufgabenstellung soll dabei jedoch verhindern, dass nur mit der Software "herumgespielt" wird, ohne ein bestimmtes Ziel zu verfolgen. Durch diese Aufgabenstellung soll das geometrische Verständnis bzgl. der lokalen Extrema seitens der Schülerinnen und Schüler gefördert werden. Sie sollen schließlich nicht in dem Sinne vorgehen: erste Ableitung gleich Null setzen, das Ergebnis in die zweite Ableitung einsetzen und überprüfen, ob diese größer oder kleiner Null ist, sondern sie sollen die geometrische Bedeutung des Vorgehens kennen und ihr Vorgehen begründen können.