Die Zahl Phi - Der Goldene Schnitt

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Ein Projekt erstellt von Joshua und Tobias

Was ist schön?? Jeder Mensch hat eine eigene Vorstellung von Schönheit, aber trotzdem gibt es Dinge, die fast jeder Mensch schön findet. Darüber haben sie viele schlaue Köpfe Gedanken gemacht und die mathematische Formel für das "Schöne" entdeckt: die Zahl φ(ausgesprochen: Phi) bzw. der Goldene Schnitt.

Inhaltsverzeichnis

Was ist φ?

Definition

Euklid definierte den Golden Schnitt wie folgt:
Eine gerade Strecke ist in in diesem Verhältnis unterteilt, wenn sich die ganze Strecke zum größeren Abschnitt gleich verhält wie die größere Strecke zur kleineren.
Eine Linie ist demnach schön geteilt, wenn die Division der ganzen und größeren Strecke dasselbe ergibt wie die Division der größeren und kleineren Strecke. Das Ergebnis dieser Rechnug ist ungegähr 1,618 und bekommt die griechischen Buchstaben φ. Es gibt auch eine Möglichkeit φ genau auszurechnen, dafür benutzt man diese Formel: φ=\frac{(1+\sqrt{5})}{2}

Goldener Schnitt- Definition.png

Jetzt ist klar, wie der Goldene Schnitt definiert ist, aber wie teilt man eine Linie so:
Dazu zeichne eine Strecke AB. Zeichne nun am Ende B im rechten Winkel eine Strecke BC, die genau halb so lang ist wie die Strecke AB. Wen du A und C verbindest, hast du ein rechtwinkliges Dreieck. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt C und Radius CB. Dort wo dieser Kreibogen die Strecke AC trifft, ist Punkt D. Am Schluus zeichne wieder einen Kreisbogen m it Mittelpunkt A und Radius AD. Dieser Kreisbogen schneidet die Strecke AB im Goldenen Schnitt.

Teilung einer Linie.png


Natürlich ist der Goldene Schnitt nicht auf Linien beschränkt. Als Nächstes seht ihr ein paar Goldene Figuren.

Goldenes Rechteck

Ein Goldenes Quadrat gibt es nicht, aber aus jedem Quadrat lässt sich ein Goldenes Rechteck konstruieren:
Zeichne ein Quadrat und finde den Mittelpunkt von einer Seite. Diesen Punkt nimmst du als Mittelpunkt und als Radius nimmst du Strecke vom Mittelpunkt zu einer der gegenüberliegenden Ecken. Zeichne nun den Kreis. Verlängere nun die Seite, auf der der Mittelpunkt ist, bis sie den Kreis schneidet. Zum Schluss musst du nur noch das Rechteck vervollständigen und fertig ist das Goldene Rechteck.

GoldeneViereck.png

Das Besondere bei den Goldenen Rechteck ist, dass wir zweimal das Verhältnis von φ haben:

  1. Das Verhältnis der längere Strecke des Rechteckes zu der quadratischen Strecke.
  2. Das Verhältnis der quadratische Strecke zu der kürzeren Strecke des Rechteckes.

Goldenes Dreieck

Das Goldene Dreieck lässt sich nicht genau konstruieren. Deshalb musst du mit den Winkel arbeiten. Am Anfang zeichne die Basis. Da es ein gleichschenkliches Dreieck werden soll, musst du an beiden Seiten den gleichen Winkel einzeichen: 72°. Dort wo sich die beiden Linie treffen sollte ein Winkel von 36° entstehen.

Goldenesdreieck.png

Es ist ein Goldenes Dreieck, weil das Verhältnis des Schenkel zur Basis φ ergibt.
Es gibt noch ein anderes Goldenes Dreieck. Dieses Dreieck hat an der Basis einen Winkel von 36° und ist ebenfalls gleichschenklich. Hier ergibt das Verhältnis der Basis zum Schenkel φ.

Goldene Spirale

Es gibt zwei Möglichkeiten eine Goldene Spirale zu zeichnen:

  • Mit dem Goldene Rechteck

Du zeichnest Wieder ein Goldenes Rechteck, wie oben schon gezeigt. Dabei hast du ja ein Quadrat durch ein Rechteck erweitert. Dieses Rechteck teilst du wieder im Goldenen Schnitt, so dass wieder ein Quadrat und ein Rechteck entsteht. Erneut teilst du das neu entstandene Rechteck im Goldenen Schnitt. Dies machst du noch ein paar Mal(Im Beispiel haben wir es insgesamt fünf Mal gemacht). Als Nächstes kommt die Spiralform. Dafür nimmst du die Ecke des größten Quadrates, welche auch die Ecke des viertgrößten Quadrates ist, und ziehst von der einen Ecke zur anderen Ecke einen Vierteskreis. Jetzt bist du beim zweitgrößten Quadrat angekommen. Hier machst du genau dasselbse wie vorher, nur dass du dieses Mal die Ecke dieses Quadrates und des fünfgrößten als Mittelpunkt nehmen musst, um einen Viertelkreis zu ziehen. Dies wiederholst du so lange, bis du einen Viertelkreis im zweitkleinsten Quadrat gezeichnet hast. Dann ist Schluss.

GoldeneSpiraleV.png
  • Mit dem Goldenem Dreieck

Im Grunde machst du dasselbe wie bei der Spirale mit dem Rechteck, nur dass du das Goldene Dreieck benutzt. Du zeichnest es und benutzt die Basis als Schennkel. Das wiederholst du ebenfalss ein paar Mal (Im Beispiel haben wir es insgesamt sechsmal gemacht). Als Mittelpunkt für den Kreisbogen benutzt du den Eckpunkt der Basis des zweitkleineren Dreiecks.

GoldeneSpiraleD.png

Goldenes Fünfeck

Bei einem regelmäßigen Fünfeck, findet man den Goldenen Schnitt sehr häufig. Um zu sehen, wie man ein regelmäßiges Fünfeck konstruiert, klicke auf den Link und zeichne es.
Konstruktion eines regelmäßigen Fünfeck
Als Nächstes verbindest du die Punkte so, dass ein Stern (Pentagramm) entsteht. Im Pentagramm entsteht wieder ein regelmäßiges Fünfeck, in welchem du wieder ein Pentagramm zeichnen kannst.

Fünfeck.png
Relation Fünfeck 1.png
Relation Fünfeck 2.png

Besondere Eingenschaften

φ4 = 3∙φ+2
φ3 = 2∙φ+1
φ2 = φ+1
φ
φ0 = 1
φ-1 = φ-1
φ-2 = -φ+2
φ-3 = 2∙φ-3
φ-4 = -3∙φ+5

Verlauf in der Geschichte

Der Verlauf des Goldenen Schnittes ist sehr schwierig zu beschreiben, weil er zu verschieden Zeiten und an verschieden Orten untersucht wurde. In Asien, Amerika und Europa habem die Menschen nach der Formel für das "Schöne" gesucht. Der Anfang in Europa liegt in der Antike, leider ging dieses Wissen größtenteils im Mittelalter verloren. Deshalb wurde in der Renaissance größtenteils von Vorne angefangen und aus diesem Grund gibt es auch so viele Namen über dieses Phänomen(Divina Proportione, Goldenes Mittel, Goldene Proportion, Goldenes Verhältnis, Heiliger Schnitt, Goldener Schnitt):

  • Der erste Mensch, der den Goldenen Schnitt benutzte, war Phidias. Er war griechischer Bildhauer und Mathematiker und war verantwortlich für den Bau des Parthenon. Man vermutet, dass er den Goldenen Schnitt bereits an seinen Skulpturen angewandt hat.
  • Der Philosoph Platon beschrieb in seinem Buch Timaios die fünf regelmäßigen Körper, hierbei spielt der Goldene Schnitt eine Schlüsselrolle.
  • In seinem Werk Elemente beschreibt Euklid zum ersten Mal den Goldenen Schnitt mathematisch.
  • Leonardo Fibonacci endeckte Ende des 12. Jahrhunderts die nach ihm benannte Fibonacci-Reihe, eine Zahlenreihe, die im engen Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt steht. Er erkannte dem ZUsammenhang allerdings noch nicht.
  • Luca Pacioli und Leonardo da Vinci arbeiteten gemeinsam an eine Abhandlung über den Goldenen Schnitt. Pacioli schrieb den mathematischen Text und da Vinci fügte dem Werk Illustartionen hinzu.
  • Den Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Reihe und den Goldenen Schnitt entdeckte Charles Bonnet im 18. Jahrhundert.
  • Nach Martin Ohm wurde der Fachbegriff Goldener Schnitt eingeführt.
  • Mark Barr gab dem Goldenen Schnitt noch den Zusatz φ, nach dessen Entdecker Phidias (griechsich Φειδίας).

Was haben die Fibonacci-Zahlen damit zu tun?

Um die Fibonacci-Reihe besser zu vestehen, stellt euch vor, ein Mann setzte ein Kaninchenpaar an einem Ort aus, der ganz von einer Mauer umgeben war. Wie wächst der Bestand an, wenn das Paar jeden Monat ein neues Pärchen bekommt, das vom zweiten Monat an ebenfalls Nachwuchs bekommt?

Am ersten Monat haben wir demnach 1 Paar. Im zweiten Monat immer noch 1 Paar. Im dritten Monat gibt es das erste Mal Nachwuchs und es gibt 2 Paare. Im nächsten Monat gibt es 3 Paare. Im fünften Monat kriegen zwei Paare Nachwuchs und deshalb haben wir 5 Kaninchenpaare.

So geht es immer weiter.

Die Anzahl der Paare entspricht der Fibonacci-Reihe: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Um es anders auszudrücken: Die Summe der beiden letzten Zahlen ergibt die neue Zahl: 21+34=55 ; 34+55=89

Aber was haben diese Zahlen mit dem Golden Schnitt zu tun? Wenn man zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen dividiert, kommt das Ergebnis den goldenen 1,1618... immer näher. \frac{2}{1}=2; \frac{3}{2}=1,5; \frac{5}{3}=1,6667; \frac{8}{5}=1,6; \frac{13}{8}=1,625

Außerdem lassen sich mit den Fibonacci-Zahlen manche goldene Figuren leichter konstruieren, z.B. die Goldene Spirale. Man nimmt eine Fibonacci-Zahl (13) und zeichnet ein Quadrat mit dieser Seitenlänge. An einer Seite zeichnet man als nächstes ein Quadrat mit der Seitenlänge der nächst kleineren Fibonacci-Zahl (8). Das macht man immer so weiter, bis man zwei Quadrate mit der Seitenlände 1 zeichnet. Jetzt lässt sie Spirale wie oben an den Ecken konstruieren.

Fibonacci - Viereck.png

Berühmte Beispiele

In der Kunst

Mona Lisa

Mona Lisa:
Die Mona Lisa ist neben dem Letztes Abendmahl einst der berühmtesten Bilder der Renaissance. Gezeichnet wurde es von Leonadro Da Vinci. Bei ihr lässt sich sehr gut der Goldene Schnitt finden. Ihre Gesichtsproportionen entsprechen dem Goldenen Schnitt, außerdem ist ihr Körper im Goldenen Schnitt.

Der vitruvianische Mensch

Der vitruvianische Mensch:
Der vitruvianische Mensch ist ebenfalls ein Bild von Leonadro Da Vinci. Hier unterteilt er den menschlichen Körper im Goldenen Schnitt und zeigt wie sehr Da Vinci Am Körperbau und -proportion interessiert war.

In der Architektur

Die Akropolis

Akropolis:
Die Akropolis in Athen, besonders das Parthenon, hat in ihrer Grundstruktur überall den Goldenen Schnitt, z.B. das Verhältnis zwischen den Säulen und das Dach.

In der Natur


Ananas:
Die Schuppen bei einer Ananas sind auf einer bestimmten Art geordnet. Es gibt die Schuppenlinien, die nach links oben oder nach oben rechts ansteigen. Du wirst staunen, aber wenn du sie zählst, stellst du fest, dass es zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen sind.

Ist unser Körper schön? Messung durch selbstgebautes φ-Meter

Da wir in den vorherigen Abschnitten uns bereits genug mit der dahintersteckenden Theorie beschäftigt haben, wollen wir nun mit dir zusammen deine Körperproportionen auf den Goldenen Schnitt überprüfen. Dies wollen wir mit dem nebenstehenden PHI-Meter direkt an deinem Körper überprüfen.
Hierfür erledige die nachfoldenden Aufgaben und merke dir deine beiden Werte, die du abliest.

  • Stelle dich vor das PHI-Meter, so dass deine Front zur Wand steht, und bestimme mit dem oberen Schieberegler deine Körpergröße und mit dem unteren die Position deines Bauchnabels. Nun kannst du dich bequem davorstellen und deine Werte ablesen, da sich die Schiebregler nicht verschieben.
  • Folgend kannst du an der nebenstehenden Tabelle deine Werte vergleichen und erkennen, ob deine Proportionen im goldenen Schnitt liegen oder wie weit sie davon entfernt sind. Je näher du an der Funktion bist, desto "schöner" ist dein Körper.

Vielen Dank, dass du dich mit unserem Thema auseinandergesetzt hast und Wir hoffen du hattest Spaß dabei.

Quellen

Hemenwax, Priya: Der geheime Code: Die rästelhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt. Übersetzt von Anita Weinberger, Wien, 2008