Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben

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Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.

  • Voraussetzung:Kenntnisse über die Ableitungsfunktion und die Bestimmung von Extremwerten
  • Zeitbedarf: eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden
  • Material: Stift und Papier, Konzentration

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Willkommen zum Lernpfad "Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben". Hier findet ihr Aufgaben, in denen die Bestimmung von Extremwerten anhand von Beispielen aus dem Alltag eingeübt und vertieft werden kann.


Kurz zur Wiederholung:

Ein Extremwert ist der größte bzw. kleinste Wert einer Funktion (in einem gewissen Bereich). Hier findest du noch die formale mathematische Definition: Definition Extremwerte. Um diesen Wert zu finden, ist es sinnvoll die Ableitung der Funktion näher zu betrachten. Diese beschreibt nämlich anschaulich die Steigung einer angelegten Tangente an der ursprünglichen Funktion. Bei einem Extremwert, ist diese Tangente waagrecht, d.h. die Ableitungsfunktion an dieser Stelle ist Null.


Diesen Sachverhalt kannst du dir nochmal in folgender Skizze näher anschauen:


Du siehst hier die Funktion a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d, an der du die Werte a, b, c und d verändern kannst. Wie du siehst, gibt es an bestimmten Stellen maximale und minimale Werte. Betrachte nun folgende Aspekte:


  • Welchen Einfluss haben die Parameter a, b, c und d auf die Funktion? Wo liegen die Unterschiede?
  • Wo befinden sich die Maxima und Minima der Funktion
  • Blende die Ableitungsfunktion ein. Welchen Zusammenhang siehst du? Wie ändert sich die Ableitung mit der Veränderung von a, b, c und d? Was erkennst du bei der Änderung von d?
  • Um den Zusammenhang deutlicher zu sehen, klicke auf das Kontrollkästchen Extremwerte

Wozu überhaupt Extremwerte?

Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. Im folgenden soll dies an drei Beispielen verdeutlicht werden. Als erstes wollen wir untersuchen, auf welchem Weg ein Ziel am schnellsten erreicht werden kann (dies ist nicht immer der direkteste Weg). Danach schauen wir uns an, wie man eine größtmögliche Schachtel aus vorgegebenen Karton basteln kann. Als letztes soll untersucht werden, in welchem Winkel man einen Ball werfen muss, um damit eine maximale Wurfweite zu erzielen.

Dies ist ein Ausschnitt aus einem breiten Anwendungsbereich von Extremwertaufgaben bzw. der Differentialrechnung. Denn auch in der Natur werden meist Zustände angenommen, die minimale Energie benötigen und somit über Extremwertbestimmungen ermittelt werden könne.

Nun aber zu unseren Aufgaben...


Beispiele für anwendungsbezogene Extremwertaufgaben (mit Lösungsanleitung)

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg

Stift.gif   Aufgabe


AckerStraße2.jpg
Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage

(a.) 1000m

(b.) 100m.

Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?

Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!


Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:


1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar (Teilaufgabe a)):

Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.

→ Lösung 1

2. Zielfunktion für Teilaufgabe a) :

Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.

Der Weg des Fußgängers setzt sich aus 2 Teilstrecken zusammen, nämlich aus einem geraden Weg über den Acker von A nach D (D liegt auf der Straße), also Strecke a (braune Linie), und dem Teilstück b (rote Linie) von D nach B auf der Straße.

  • Sei d der Abstand von C (Fußpunkt des Lotes durch A auf die Straße) und D, wobei 0 \le d  \le 1000 .
  • Die Länge des Weges von D nach C, also die rote Strecke b, ist 1000 - d.
  • Da der Fußgänger auf dem Acker nur halb so schnell voran kommt wie auf der Straße, müssen die dort zurückzulegenden Meter doppelt gezählt werden.

Die Überlegungen führen uns zu folgender Zielfunktion:


f(x)=2*a+(1000-d)


Diese ist zu minimieren.


3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a):

Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.

Die Länge des Weges a von A nach D ist nach Pythagoras a=\sqrt{400^2+d^2} .

Mit dieser Nebenbedingung a=\sqrt{400^2+d^2} ergibt sich durch Ersetzen von a in der Zielfunktion:

f(d)=2*\sqrt{400^2+d^2}+ (1000-d)= min!


4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):

Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.

Teilaufgabe a)

  • Um den Extremwert der Zielfunktion bzw. den schnellsten Weg, um von A nach B zu kommen, zu bestimmen, benötigen wir die erste Ableitung dieser Funktion, die wir gleich 0 setzen, also f'(d)=0:

f'(d)=(2d/\sqrt{400^2+d^2})-1=0

  • Durch Auflösen dieser Bedingung nach d erhält man als Lösung

d=\sqrt{\frac{400^2}{3}}\approx230.94

  • Um nachzuprüfen, ob an dieser Stelle ein lokales Minimum (schnellster Weg) vorliegt, berechnen wir die zweite Ableitung der Zielfunktion f''(d) und prüfen, ob durch Einsetzen von unserer Lösung in f''(d) eine Zahl größer als 0 vorliegt, also ob f''(d)>0:

Es gilt f''(d)=[2*\sqrt{400^2+d^2}-d^2/\sqrt{400^2+d^2}]/(400^2+d^2)

und somit f''(\sqrt{\frac{400^2}{3}})>0

  • Die Weglänge über die Straße, also die Entfernung von Punkt D zu B, beträgt also

1000-\sqrt{\frac{400^2}{3}}\approx769.04.

Die Weglänge über den Acker beträgt

a=\sqrt{400^2+\sqrt{400^2/3} }\approx461.8.


Teilaufgabe b)

  • Wenn allerdings der Abstand zwischen B und C nur 100m beträgt, so lautet die zu minimierende Zielfunktion

f(d)=2*\sqrt{400^2+d^2}+(100-d)


  • Die Ableitung hiervon ist die gleiche wie in Teilaufgabe a) schon betrachtet:

f'(d)=(2d/\sqrt{400^2+d^2})-1.

Setzt man diese Ableitung gleich 0, so hat sie für 0\le d\le100 keine Nullstelle bzw. keine Lösung. Hiermit gibt es in diesem Fall kein lokales Minimum. Die Funktion ist im Intervall [0,100] also streng monoton, weshalb der minimale Wert am Rand des Definitionsbereiches liegen muss, also entweder bei d=0 oder bei d=100.


  • Durch Einsetzen von d = 0 erhält man f (0)=2*400+100=900

Durch Einsetzen von d = 100 erhält man f (100)=2*412+100-100=824

Da der Funktionswert für d=100 der kleinere ist, führt folglich der kürzeste Weg von A nach B auf gerader Linie direkt über den Acker.


Bastelstunde: Falten einer Schachtel

Stift.gif   Aufgabe

Von einem rechteckigen Karton mit Seitenlängen a und b (mit b \le a) schneidet man an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x aus, so dass man damit eine oben offene Schachtel falten kann. Die Schachtel besteht dabei aus der Grundfläche G und den Seitenflächen S1 bis S4.


a.) Berechne x in Abhängigkeit von a und b für den Fall, dass das Schachtelvolumen möglichst groß ist.
b.) Was ergibt sich im Sonderfall a = b?
c.) Wie groß ist das maximale Volumen für a = 21 und b = 16?

Schreibe deine Gedanken, den Rechenweg und deine Ergebnisse auf einem Blatt Papier nieder.

Falls du an einer Stelle nicht weiterkommst oder du zum Schluss die Lösungen vergleichen möchtest, kannst du folgende Hinweise zu Hilfe nehmen:


Fertige zuerst eine Skizze der Aufgabenstellung an, in welche die gegebenen und gesuchten Variablen eingezeichnet werden. Dadurch sind die Zusammenhänge leichter ersichtlich.

→ Lösung zu Bastelstunde: Falten einer Schachtel


Lösungsweg zu Teilaufgabe a.)

Nun gilt es, mit Hilfe der Variablen in der Skizze die Formel für das Schachtel-Volumen aufzustellen. Weißt du noch, wie man das Volumen eines Quaders berechnet?

Wie du dich vielleicht erinnerst, berechnet man das Volumen eines Quaders mit dem Merksatz "Länge mal Breite mal Höhe". Hier in unserem Fall lautet die Formel also:


 \begin{matrix} V(x) &=& (a-2x) \cdot (b-2x) \cdot x \\ \ &=&(ab-2ax-2bx+4x^2) \cdot x \\ \ &=&4x^3-2ax^2-2bx^2+abx \end{matrix}


Jetzt bilden wir die erste Ableitung der Volumenformel V(x) und setzen diese gleich Null, um "Kandidaten" für Extrempunkte zu bekommen.

 \begin{matrix} V^\prime(x) &=&12x^2-4ax-4bx+ab \\ \ &=&12x^2-4(a+b)x+ab  \end{matrix} \qquad \qquad \stackrel{!}{=} \ 0


Mit Hilfe der "Mitternachtsformel" erhalten wir maximal 2 mögliche Extremstellen (da dies ein Polynom zweiten Grades ist):


 \begin{matrix} x_{1,2} &=&\frac {4(a+b)\pm \sqrt{16(a+b)^2-4 \cdot 12 \cdot ab}}{24} \\ \ &=&\frac{4a+4b \pm \sqrt{16a^2+32ab+16b^2-48ab}}{24} \\ \ &=&\frac{4a+4b \pm \sqrt{16a^2-16ab+16b^2}}{24} \\ \ &=&\frac{4a+4b \pm 4\sqrt{a^2-ab+b^2}}{24} \\ \ &=&\frac{a+b \pm \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}\end{matrix}


 \Rightarrow \qquad x_1 =\frac{a+b+ \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6} \quad , \quad x_2 =\frac{a+b- \sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}


Für welchen unserer Extremstellen-"Kandidaten" das Schachtelvolumen maximal wird, sehen wir nun durch sukzessives Einsetzen der erhaltenen Punkte in die zweite Ableitung der Volumenformel V(x).

 {V^\prime}^\prime (x) = 24x-4a-4b


 \Rightarrow
 {V^\prime}^\prime (x_1) = 4(a+b+ \sqrt{a^2-ab+b^2})-4a-4b =4 \sqrt{a^2-ab+b^2} \qquad > \ 0 \qquad \Rightarrow \quad x_1 \ ist \ Minimum
 {V^\prime}^\prime (x_2) = 4(a+b- \sqrt{a^2-ab+b^2})-4a-4b =-4 \sqrt{a^2-ab+b^2} \quad < \ 0 \qquad \Rightarrow \quad x_2 \ ist \ Maximum


Ergebnis: Nach Herausschneiden von Quadraten der Seitenlänge x_2 an den Ecken des Kartons besitzt die gefaltete Schachtel das größtmögliche Volumen!


Lösungsweg zu Teilaufgabe b.)

Für den Sonderfall  a = b ersetzen wir also nun die Variable b durch die Variable a, was bedeutet, dass unser Karton jetzt quadratisch ist. Dadurch erhalten wir sofort zwei neue Lösungen für die Seitenlänge x der herauszuschneidenden Quadrate.

 x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{a^2-a^2+a^2}}{6} = \frac{2a \pm a}{6}


 \Rightarrow
 x_1 = \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad Fuer \ diesen \ Fall \ gibt \ es \ keine \ Schachtel, \ da \ (a-2x_1)=0
 x_2 = \frac{a}{6} \quad \Rightarrow \quad {V^\prime}^\prime (x_2) = 24 \left( \frac{a}{6} \right) -4a-4a = -4a \quad < \ 0 \qquad \Rightarrow \quad x_2 \ ist \ Maximum


Ergebnis: Die Schachtel hat die Kanten a/6, 4a/6 und 4a/6. Das ist das Verhältnis  1 \ : \ 4 \ : \ 4 .


Lösungsweg zu Teilaufgabe c.)

Zum Schluß haben wir noch zwei konkrete Werte für unsere Kartonseitenlängen gegeben, nämlich  a = 21 und  b = 16 . Wie groß ist hierfür das maximale Volumen V_\mathrm{max} (x) ?

→ Lösung zu Lösungsweg zu Teilaufgabe c


Der schräge Wurf

Stift.gif   Aufgabe

Nun wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht.

1. Skizze:

Als erstes solltest du eine Skizze von einem Wurf nach schräg oben anfertigen. Wo befindet sich dabei der entscheidende Winkel \alpha? Was sind die entscheidenden Größen?


Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Skizze des Wurfes:

→ Der schräge Wurf - 1. Skizze


Entscheidend ist nun die Zerlegung der Bewegung in eine x- und eine y-Komponente. Versuche zunächst, die Geschwindigkeit an Hand der Skizze in diese Komponenten zu zerlegen.

Die Größen  v_{x} und  v_{y} lassen sichmit Hilfe von \alpha wie folgt bestimmen:

 v_{x}=v_{0} \cdot cos(\alpha) und

 v_{y}=v_{0} \cdot sin(\alpha)


2. Physikalische Formeln

Wir wollen allerdings die Flugweite und Flughöhe, nicht die jeweiligen Geschwindigkeiten betrachten. Erinnerst du dich, wie die Ortskomponenten in der Physik mit den Geschwindigkeitskomponenten zusammenhängen? Schreibe die entsprechenden Gleichungen auf!

Der Ort des Wurfobjekts ergibt sich aus dem Anfangsort, der Geschwindikeit in die jeweilige Richtung mal die entsprechende Zeit und die Geschwindigkeitsänderungen (welche über die Beschleunigung ausgedrückt werden) mal die quadratische Zeit:

 x(t)=x_{0}+v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{0} \cdot t^2

Dies müssen wir nun in x- und y-Richtung ausdrücken. In x-Richtung bleibt die Geschwindigkeit (wenn wir die Reibung vernachlässigen) über die ganze Strecke konstant und wir starten am Anfangspunkt 0:

 x(t)=v_{x} \cdot t = v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot t

In y-Richtung starten wir ebenfalls am Anfangspunkt 0, allerdings nimmt die Geschwindigkeit mit der Erdbeschleunigung g ab:

 y(t)=v_{y} \cdot t - 1/2 \cdot g \cdot t^2 = v_{0} \cdot sin(\alpha) \cdot t - 1/2 \cdot g \cdot t^2


3. Nebenbedingung formulieren

Nun musst du dir klar werden, welche Größen du darstellen willst! In unserem Fall: Wurfweite x in Abhängigkeit des Wurfwinkels  \alpha . Steht dies schon da? Oder steht in der Funktion eine Variable, die stört bzw. nicht gegeben ist? Dann musst du diese Variable durch deine eigentlich interessanten Größen ausdrücken, oder anders gesagt, eine Nebenbedinung formulieren.

Tipp: Nicht erschrecken vor zunächst etwas unhandlichen Termen.

Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Nebenbedingung mit entsprechender Auflösung:

Störend ist bei uns noch die Variable t. Wir interessieren uns ja nur für den Zeitpunkt, an dem der Ball/Stein oder ähnliches wieder auf dem Boden aufkommt. Dies ist genau der Zeitpunkt, bei dem unsere zweite Ortsfunktion y(t) (also die Höhe) wieder 0 ist. Als Funktion:

 y(x)=v_{y}(t) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v_{0}(t) \cdot sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 =0

um t zu elimieren, müssen wir diese Gleichung nach t auflösen. Etwas anders sortiert lässt sich die Gleichung auch schreiben als

 0 = \underbrace{- \frac{1}{2} \cdot g}_{a} \cdot t^2 + \underbrace{v_{0}(t) \cdot sin(\alpha)}_{b} \cdot t = a \cdot t^2 + b \cdot t = 0

Dies ist eine einfache quadratische Gleichung, die sich mit der Mitternachtsformel lösen lässt:

 t_{1/2}=\frac{-v_{0} \cdot sin(\alpha)\pm \sqrt{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2+4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 0}}{-g}


 \qquad =\frac{-v_{0} \cdot sin(\alpha) \pm v_{0} \cdot sin(\alpha)}{-g}


 \Rightarrow t_{1} = 0 \qquad und \qquad t_{2} = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g}

Wir erinnern uns, dass  t_{1} und  t_{2} jeweils die Zeiten sind, an denen die Höhe des Wurfobjekts 0 ist. Dies ist logischerweise zur Zeit 0 der Fall, was unserer Lösung  t_{1} entspricht. Die für uns interessante Lösung ist allerdings  t_{2} , also die Zeit, wenn das Wurfobjekt nach dem Wurf wieder am Boden ist.


4. Nebenbedingung einsetzen und Funktion aufstellen

Wenn du die Nebenbedingung formuliert hast und umgeformt hast, kannst du die störende Variable durch die für die Aufgabe wesentlichen Größen ausdrücken und in die Zielfunktion einsetzen.

→ Nebenbedingung einsetzen und Funktion aufstellen


5. Bestimmung des Extremwerts (maximale Wurfweite)

Du hast nun eine Funktion, die dir die Wurfweite in Abhängigkeit des Winkels darstellt. Wir wollen den Winkel herausfinden, bei dem die Wurfweite maximal wird. Wir suchen also das Maximum von  x(\alpha).

Dieses Maximum können wir bestimmen, indem wir die Funktion einmal ableiten und die Nullstellen dieser Ableitung suchen. Da die Funktion nur von  \alpha abhängt, musst du jetzt natürlich nach  \alpha ableiten. Versuche, die Nullstelle zu bestimmen.

Die Funktion

 x(\alpha) = \frac {2 \cdot v_{0}^2}{g} \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha) soll maximiert werden.

Erste Ableitung:

  x'(\alpha)= \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (-sin(\alpha) \cdot sin(\alpha)+cos(\alpha)cos(\alpha))\qquad \qquad (Produktregel)

 x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (cos(\alpha)^2 - sin(\alpha)^2)

 x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (1-2sin(\alpha)^2) \stackrel{!}{=} 0 \qquad \qquad (sin(x)^2+cos(x)^2=1)

 \Leftrightarrow 2 \cdot sin(\alpha)^2 = 1 \qquad \Leftrightarrow sin(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

 \Leftrightarrow \qquad \alpha = \pm 45^\circ

Die negative Lösung entspräche dem Abwurf in 45° nach unten in den Boden, also eine nichtpraktische Lösung.

 \Rightarrow \qquad \alpha = 45^\circ

Zur Überprüfung, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, sollten wir noch die 2. Ableitung überprüfen:

 x''(\alpha) = - \frac{8 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)}{g} < 0 \qquad \qquad \alpha \approx 45^\circ

Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum und die Wurfweite wird bei  \alpha = 45^\circ maximal.


6. Untersuchung der Flughöhe

Du hast nun herausgefunden, dass die Flugweite eines geworfenen Objekts nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt, sondern auch vom Winkel, in dem das Objekt abgeworfen wird. Unter dem soeben bestimmten Winkel ist die Flugweite maximal.

Versuche nun noch zu berechnen, welche maximale Höhe das Objekt dabei erreicht. Wir suchen also wieder den Extremwert, diesmal allerdings den maximalen Wert der Höhe. Die Höhe wurde bisher als Funktion y(t) bezeichnet. Klar ist, dass der Ball wohl je höher fliegen wird, je steiler man ihn nach oben wirft und die Flughöhe bei  \alpha=0^\circ , also den Wurf senkrecht nach oben, sein Maximum haben wird. Die Frage ist nun allerdings wie hoch der Ball unter dem berechneten "optimalen" Abwurfwinkel fliegt.

Wir müssen die Ableitung der Funktion y(t) wieder gleich 0 setzen, um die Extremwerte der Funktion herauszufinden und diese Werte dann mithilfe der 2. Ableitung überprüfen:

 y(t)= v_{0} \cdot sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

 y'(t)= v_{0} \cdot sin(\alpha) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot 2 \cdot t \stackrel{!}{=} 0

 \Rightarrow t_{max} = \frac{ v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g}

Einsetzen in y(t):

 y(t_{max})= v_{0} \cdot sin(\alpha) \frac{v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{g^2}

 = \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{g} - \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{2g}

 = \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{2g}

Einsetzen von  \alpha_{max}=45^\circ

 y(t_{max})= \frac{v_{0}^2}{4g}

Zuletzt noch die Überprüfun der 2. Ableitung:

 y''(t_{max})= -g < 0

Somit handelt es sich um ein Maximum und wir haben die Flughöhe für beliebige Anfangsgeschwindigkeiten bestimmt.


Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!




Entstanden unter Mitwirkung von: