Einführung in die Integralrechnung

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Lernpfad
Kurzinfo
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Integral Titel.png
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt im Mathematikunterricht entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.


Voraussetzungen:
Zeitbedarf: etwa 3 Schulstunden
Materialien:Pdf20.gif Das bestimmte Integral; Pdf20.gif Aufgaben mit Lösung; Pdf20.gif Integralfunktion


Inhaltsverzeichnis

Das Flächenproblem

Integral Grundstück.png
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.



Unter- und Obersumme

Int abb1.png
  1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
  3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
  4. Lösung:
  • Berechnung von Unter- und Obersummen mit GeoGebra



Das bestimmte Integral

  • Informiere dich im Pdf20.gif Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
  • Auf dem Pdf20.gif Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! Pdf20.gif Lösung
  • Berechne: \int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x; \int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x; \int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x
  • Überprüfe die Lösung mit folgendem Geogebra.png Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!



Flächenberechnung

Int abb2a.png






Integralfunktion

  • Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
  • Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
  • Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Pdf20.gif Arbeitsblatt "Die Integralfunktion".

Zusätzliche Übungsaufgaben



Für Interessierte

  • Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
  • Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.


Entstanden unter Mitwirkung von: