Potenzfunktionen

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Herzlich willkommen zum Lernpfad zu Potenzfunktionen!

In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den Potenzfunktionen auseinandersetzen.

Kompetenzen

Du kennst bereits:

  • verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...),
  • lineare Funktionen allgemein und abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen sowie
  • Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x- und auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x- und y-Achse sowie Spiegelungen an der x- und y-Achse).

Nach Bearbeitung dieses Pfades:

  • kannst du wichtige Eigenschaften der Potenzfunktionen erläutern.
  • weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst.
  • weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse strecken bzw. stauchen sowie an der x- und y-Achse spiegeln kannst.
  Und nun ....


Viel Spaß beim Bearbeiten!!


Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Infos vor Beginn

1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.

Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

  • Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
  • An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
  • Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
  • Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?

3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung


2) Allgemeine Hinweise:

  • Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
  • Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
  • Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
  • Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.



Definition der Potenzfunktionen

Bevor es richtig losgeht, zuerst einmal eine allgemeine Definition der Potenzfunktion, damit du überhaupt weißt, worum es im Folgenden gehen soll:

Definition


Eine Funktion der Form f(x) = x^b mit b\in R heißt Potenzfunktion.


In der Klasse 9 müssten dir bereits einige dieser Potenzfunktionen begegnet sein und auch aus unserem Unterricht kennst du bereits zwei Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven Exponenten, und zwar f(x) = x und f(x) = x^2.
Der Einfachheit halber werden die verschiedenen möglichen Fälle (hinsichtlich der Exponenten) im Folgenden einzeln betrachtet, zuerst ganzzahlige Potenzen, anschließend rationale (also die sogenannten Wurzelfunktionen).

Wichtige Eigenschaften der Potenzfunktionen

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Wie bereits gesagt, zwei Beispiele für diese Art der Potenzfunktionen sind dir auf jeden Fall bekannt: f(x) = x^1 = x und f(x)= x^2. Mit diesen Funktionen hast du dich schon ausführlich beschäftigt. Diese Kenntnisse sollen nun erweitert werden auf andere Exponenten - einerseits auf größere positive (d. h. Funktionen wie x^3, x^4, x^5 etc.) und andererseits auch auf negative (d. h. Funktionen wie x^{-1}, x^{-2} etc.).


Potenzen mit ganzzahligen positiven Exponenten

  Aufgabe 1  Stift.gif

Betrachte die Funktionen f_1(x) = x^2, f_2(x) = x^3 und f_3(x) = x^4 und f_4(x) = x^5.

  • Zeichne die zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch und stelle Vermutungen an über den Zusammenhang von Exponent und Graph. Welche Fälle lassen sich unterscheiden?
  • Wie sehen vermutlich die Graphen zu f_5(x) = x^6 und f_6(x) = x^7 aus? Skizziere sie in deinem Lerntagebuch.
  • Welche Eigenschaften kennzeichnen die verschiedenen Gruppen von Graphen ansonsten (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Verhalten für sehr große bzw. sehr kleine x)?


Mit dem folgenden Link kannst du deine Erkenntnisse überprüfen bzw. ergänzen: Potenzfunktionen mit positiven Exponenten

Noch eine kleine begriffliche Ergänzung:

Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion der Form f(x) = x^n mit n\in N heißt Potenzfunktion vom Grad n. (Wundere dich nicht über das n im Exponenten: Da der Exponent in diesem Fall aus der Menge der natürlichen Zahlen stammt, wird er eben mit n bezeichnet.)
Die Graphen zu diesen Funktionen mit n > 1 heißen Parabeln n-ter Ordnung - der Graph zu einer quadratischen Funktion heißt also korrekt Parabel zweiter Ordnung.


Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten

Eventuell hast du dich bereits in der Klasse 9 mit Potenzfunktionen mit negativen Exponenten beschäftigt und weißt bereits einiges darüber - dann kannst du diesen Abschnitt bestimmt schnell durcharbeiten. Ansonsten nimm dir einfach etwas mehr Zeit ....

Zuerst einmal:

Nuvola apps kig.png   Merke

Für Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gibt es zwei verschiedene Schreibweisen, die dir vermutlich schon bekannt sind - aber Wiederholung kann ja schließlich nie schaden:
Es gilt: x^{-b} = \frac{1}{x^b}.
Die Graphen zu diesen Funktionen nennt man Hyperbeln.


  Aufgabe 2  Stift.gif

Bevor du dir gleich ein konkretes Beispiel und den zur Funktion gehörenden Graph anschauen sollst, bestimme die allgemeine Definitionsmenge und die Wertemenge von Funktionen der Form f(x) = x^{-b} = \frac{1}{x^b}. Gibt es x- und y-Werte, für die die Funktion nicht definiert ist?
Wenn du allein nicht weiterkommst, nutze das folgende Beispiel als Tipp.


Beispiel

Ein konkretes Beispiel: f(x) = x^{-3}.

  Aufgabe 3  Stift.gif

Forme die Funktion in die Bruchschreibweise um und gib Definitions- und Wertemenge an.


Nun zur graphischen Darstellung: Hyperbeln sehen etwas anders aus als die Graphen, die du bisher im Unterricht kennen gelernt hast.

Hyperbel x^3.jpg


Wie du bei der Bestimmung der Definitionsmenge (hoffentlich) herausgefunden hast, sind die Funktionen
1) für x = 0 nicht definiert, d. h. der Graph weist an dieser Stelle eine Lücke auf. Rund um den Nullpunkt nähert sich der Graph immer mehr der y-Achse an, aber er erreicht ihn nie - für negative x-Werte logischerweise von links.
2) für f(x) = 0 ebenfalls nicht definiert, da es keinen Nenner x gibt, für den ein Bruch mit Zähler 1 Null werden kann. Der Graph nähert sich dementsprechend sowohl "von oben" als auch "von unten" der x-Achse an.

Nuvola apps kig.png   Merke

Die Geraden, denen sich Hyperbeln immer weiter annähern (hier also die x- und die y-Achse) haben einen speziellen Namen: Sie heißen Asymptoten. Bei der Asymptote einer Funktion handelt es sich aber nicht unbedingt um eine der beiden Achsen. Verschiebst du den Graphen im Koordinatensystem, verschiebt sich dementsprechend auch die Asymptote.
Im weiteren Verlauf der Oberstufe wirst du noch weitere Funktionen kennenlernen, die Asymptoten besitzen, deshalb solltest du dir diesen Begriff gut merken.


Im nächsten Schritt sollst du weitere Eigenschaften neben der Definitions- und Wertemenge untersuchen - hier hast du bereits festgestellt, dass Potenzfunktionen mit negativen (ganzzahligen) Exponenten sich in diesem Punkt von den positiven Exponenten unterscheiden. Aber was ist mit den anderen Eigenschaften?

  Aufgabe 4  Stift.gif

Untersuche für verschiedene negative Exponenten die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.

  • Was kannst du mithilfe des Applets über die Symmetrie sowie das Verhalten der Funktionen für sehr große und sehr kleine x herausfinden?
  • Lassen sich wie bei den positiven Exponenten Gruppen bilden, die jeweils die gleichen Eigenschaften haben?



Zusammenfassend für positive und negative ganzzahlige Exponenten kann festgehalten werden:

Wie du wahrscheinlich festgestellt hast, lassen sich die ganzzahligen Potenzfunktionen (positive und negative Exponenten) in zwei Gruppen aufteilen:

Definition


Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn für alle x der Definitionsmenge gilt: f(x) = f(-x). Das ist logischerweise genau dann der Fall, wenn der Exponent der Funktion gerade ist. Graphisch gesehen sind alle geraden Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse, so wie du es bereits von den quadratischen Funktionen kennst.
Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn für alle x der Definitionsmenge gilt: f(-x) = -f(x). Das ist genau dann der Fall, wenn der Exponent der Funktion ungerade ist. Graphisch gesehen sind alle ungeraden Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung.


  Aufgabe 5  Stift.gif

Wähle ein Beispiel für eine gerade und eine ungerade Funktion aus, zeichne den zugehörigen Graphen in dein Lerntagebuch (zeichne die Asymptoten bunt ein) und erläutere jeweils die Eigenschaften der Funktion.


Hier eine kleine Übung zum Erkennen von Graphen - alles verstanden?



Bevor wir nun übergehen zu den Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten, kannst du mit der folgenden Übung noch einmal überprüfen, ob du soweit alles verstanden hast und die Funktionen richtig zuordnen kannst: Übung zum Erkennen von Potenzfunktionen. Klicke die Box mit "Applet: Graphen erkennen 2" an.

  Aufgabe 6  Stift.gif

Stelle zum Abschluss der Bearbeitung von ganzzahligen Exponenten stichwortartig die verschiedenen Funktionsarten mit ihren Eigenschaften zusammen - nutze dazu die bereitgestellte Tabelle und skizziere jeweils einen Graphen. Zum Abschluss des Kapitels "Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen" sollst du eine tabellarische Gesamtübersicht erstellen, mit dieser Aufgabe leistet du also schon etwas Vorarbeit für später.


Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten = Wurzelfunktionen

In diesem Abschnitt geht es um Funktionen, deren Exponent aus einem Bruch besteht, die Funktion hat also die Form f(x) = x^{\frac{m}{n}}, beispielsweise f(x) = x^{-\frac{7}{2}} oder f(x) = x^{\frac{3}{4}}. Im Prinzip kennst du diese Funktionen auch bereits, denn Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten stellen lediglich eine andere Schreibweise für Wurzelfunktionen dar.

Definition


Man definiert für reelle Zahlen x\ge 0 und m, n \in N: x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m.
\sqrt[n]{x^m} heißt n-te Wurzel aus x^m.
Beispiele: x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}, x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}, ...


  Aufgabe 7  Stift.gif

Was vermutest du, wie sich ein negativer rationaler Exponent auswirken würden? Erläutere an einem Beispiel und formuliere einen Merksatz bzw. eine Definition wie oben.

Definition


Für reelle x > 0 und m, n \in N gilt: f(x) = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} = (\frac{1}{\sqrt[n]{x}})^m


  Aufgabe 8  Stift.gif

Begründe in deinem Lerntagebuch, warum Potenzen mit rationalen Exponenten nur für positive x-Werte definiert sind.


Nun sollst du die Eigenschaften der Wurzelfunktionen untersuchen, d. h. Definitions- und Wertemenge, Asymptoten, Symmetrie, Verhalten für sehr große und sehr kleine x:

  Aufgabe 9  Stift.gif

Lassen sich die Eigenschaften der ganzzahligen Exponenten übertragen? Stelle Vermutungen bzgl. der Eigenschaften von Wurzelfunktionen auf. Überprüfe sie mit dem folgenden Applet:


Nun noch eine kleine Übung zu Wurzelfunktionen.

Zusammenfassung

  Aufgabe 10  Stift.gif

Stelle zusammenfassend eine tabellarische Übersicht auf, die die Eigenschaften aller möglichen Potenzfunktionen der Form f(x) = x^b (also die sogenannte Grundfunktion) gegenüberstellt. Nutze dazu die folgende Pdf20.gif Tabelle (oder diese ausführlichere Pdf20.gif Variante).



Transformationen

Bislang hast du dich lediglich mit den sogenannten "Grundfunktionen" der Potenzfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Potenzfunktionen beschäftigen. Solche Funktionen werden eigentlich nicht mehr Potenzfunktionen, sondern ganzrationale Funktionen genannt, aber dazu später mehr.
Um die Anzahl der jeweils zu untersuchenden Funktionen überschaubar zu halten, werden auch an dieser Stelle die verschiedenen Arten von Exponenten getrennt betrachtet.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten

Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann. Es handelt sich hierbei - wie du weißt - bereits um ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Exponenten. Bevor du dich mit anderen Exponenten beschäftigst, wiederhole kurz dein Wissen für den Fall a = 2:

  Aufgabe 11  Stift.gif

Beantworte folgende Fragen in deinem Lerntagebuch. Versuche erst, die Fragen aus dem Kopf zu beantworten - wenn du Hilfe brauchst, nutze die versteckte Datei unten. Ansonsten kannst du mit ihrer Hilfe deine Ergebnisse überprüfen.
1) Wie erreichst du eine Streckung bzw. Stauchung von f(x) = x^2? Betrachte alle verschiedenen möglichen Fälle.
2) Wie kannst du diese Funktion nun in y-Achsenrichtung (d. h. also nach oben oder unten) verschieben?
3) Wie musst du die Funktionsgleichung verändern, wenn du zusätzlich noch eine Verschiebung in x-Achsenrichtung vornehmen willst?
4) Letzte Frage: Nachdem du nun eine zusammenfassende Funktionsgleichung aufgestellt hast, wie kannst du diese an der x-Achse spiegeln?




Nun sollst du versuchen, diese Informationen auch auf größere Exponenten zu übertragen:

  Aufgabe 12  Stift.gif

Finde heraus, ob die mathematischen Operationen, die für die Transformationen bei quadratischen Funktionen gelten, auch für b = 3 gelten. Stelle zuerst Vermutungen an, durch welche Veränderungen in der Funktionsgleichung du (ausgehend von der Grundfunktion f(x) = x^b)

  • eine Streckung bzw. Stauchung der Funktion in Richtung der y-Achse,
  • eine Verschiebung in Richtung der x-Achse und
  • eine Verschiebung in Richtung der y-Achse sowie
  • eine Spiegelung an der x-Achse

hervorrufen kannst. Erläutere deine Vermutungen im Lerntagebuch und überprüfe mit der folgenden Datei:


  Aufgabe 13  Stift.gif

Fasse deine Erkenntnisse zusammen: Kannst du eine allgemeine Funktionsgleichung für Potenzfunktionen 3. Grades aufstellen, an der du die bisher bearbeiteten Transformationen direkt ablesen kannst? Erläutere an einem Beispiel in deinem Lerntagebuch.

Eine solche allgemeine Gleichung lautet: f(x) = a(x - d)^3 + e. Eine Spiegelung kannst du erreichen durch f(x) = -[a(x - d)^3 + e].


Die einzige Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse:

  Aufgabe 14  Stift.gif

Von den quadratischen Funktionen weißt du bereits, dass (ausgehend von der Grundfunktion f(x) = x2) eine Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse bewirkt wird durch
f(cx) = (cx)2. Welche Besonderheit hatten wir bzgl. dieser Transformationsart festgestellt? Beschreibe die verschiedenen möglichen Fälle für c . Was stellst du fest für c < 0?


Eine Streckung in Richtung der x-Achse liegt vor für: -1 < c < 1. Eine Stauchung wird erreicht durch c < -1 und c > 1 - für c = 1 liegt keine Streckung oder Stauchung in x-Achsenrichtung vor. Falls c < 0, liegt in allen drei Fällen zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse vor.


  Aufgabe 15  Stift.gif

Kannst du diese Erkenntnisse bzgl. der Streckung / Stauchung in x-Richtung auf die Potenzfunktionen 3. Grades übertragen? Wie ist für diese Funktionen eine Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse zu erreichen? Wähle für jeden möglichen Fall für c ein Beispiel und erläutere es (mit Skizze) in deinem Lerntagebuch. Zur Überprüfung kannst du GeoGebra nutzen.


  Aufgabe 16  Stift.gif

Graphen von verschobenen und gestreckten / gestauchten Potenzfunktionen lassen sich durch verschiedene Funktionsgleichungen angeben, d. h. es ist möglich, die Transformationsarten z. T. durcheinander auszudrücken bzw. zu ersetzen. Das folgende Beispiel zeigt eine quadratische Funktion, die durch zwei verschiedene Funktionsgleichungen beschrieben werden kann.
1 Graph-2 Gleichungen quadratisch.jpg
Die Funktion kann einerseits mithilfe einer Streckung in Richtung der y-Achse ausgedrückt werden: f(x) = 4(x - 2)^2 - 3 und andererseits durch eine Stauchung in Richtung der x-Achse: g(x) = (2x - 4)^2 - 3. Wie hängen die beiden Funktionsgleichungen zusammen? Leite f(x) aus g(x) her. Erläutere den Zusammenhang zwischen a in f(x) und c in g(x) in deinem Lerntagebuch. Was fällt dir für d, also für die Verschiebung auf der x-Achse auf?



  Aufgabe 17  Stift.gif

Übertrage diese Erkenntnisse nun auf Potenzfunktionen 3. Grades: Gegeben ist die Funktion g(x) = (2x - 6)^3 + 2 mit folgendem Graphen:
1 Graph-2 Gleichungen kubisch.jpg.
Mit welcher anderen Funktionsgleichung kannst du diesen Graph darstellen? Erläutere dein Vorgehen und die Unterschiede zwischen den Funktionsgleichungen (bzgl. der Transformationen), d. h. wie hängen die beiden zusammen? Damit du zur Überprüfung nicht selbst zeichnen musst: GeoGebra.


Nun weißt du, wie Potenzfunktionen 2. und 3. Grades im Koordinatensystem bewegt werden können. Sind diese Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten?

  Aufgabe 18  Stift.gif

Untersuche verschiedene weitere (positive) Exponenten.

  • Sind deine bisherigen Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten?
  • Macht es einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist?

Untersuche diese Frage mithilfe der Übung zu Potenzfunktionen

  • Gelten deine Erkenntnisse beispielsweise auch für Geraden?

Wähle geeignete Beispiele und probiere mit GeoGebra. Notiere deine Erkenntnisse im Lerntagebuch.


  Aufgabe 19  Stift.gif

Bevor du dich mit den anderen möglichen Exponenten beschäftigst, stelle mithilfe der Pdf20.gif Tabelle eine Übersicht über die möglichen Transformationsarten für Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven Exponenten auf. Liste erst die einzelnen Möglichkeiten auf und fasse dann in der allgemeinen Gleichung f(x) = a(x - d)^n + e(n\in N) zusammen.
Formuliere in einem Satz, wie du eine Spiegelung an der x-Achse erreichen könntest.
Erkläre, wie eine Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse in die Funktionsgleichung eingefügt werden könnte. Begründe anschließend, warum eine Betrachtung dieser Transformationsart bei Potenzfunktionen nicht notwendig ist.


Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

  Aufgabe 20  Stift.gif

Überprüfe, ob deine bisherigen Erkenntnisse auf Funktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten übertragen werden können. Gibt es Unterschiede? Nutze die folgende Übung als Hilfe.


Potenzen mit rationalen Exponenten

  Aufgabe 21  Stift.gif

Überprüfe abschließend, ob deine bisherigen Erkenntnisse auch auf Funktionen mit rationalen Exponenten übertragen werden können. Gibt es Unterschiede? Nutze die folgende Übung als Hilfe.


Gesamtergebnis:

Die von dir erstellte Übersicht ist auf alle Potenzfunktionen übertragbar, du kannst sie also als Gesamtübersicht nutzen.


Zusammenfassung

  Aufgabe 22  Stift.gif

Wähle je ein Beispiel für jede Art der Potenzfunktion, die du kennengelernt hast. Erläutere in deinem Lerntagebuch jeweils die verschiedenen Transformationen und zeichne die Funktion.


Zusatzaufgabe

Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbeitung des Lernpfades fertig sein solltest, entwirf als Zusatzaufgabe ein kleines Funktionenbild oder -muster mithilfe von Potenzfunktionen. Nutze dazu Geogebra.