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Satz des Pythagoras

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Kurzinfo
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Es ist ein schöner Sommertag und du willst ein Badmintonnetz aufstellen. Das Netz ist 1,55 Meter hoch und soll in einem Abstand von 2 Metern vom Pfosten im Boden befestigt werden. Wie lang muss das Seil mindestens sein, um das Netz befestigen zu können? Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich das ganz leicht ausrechnen.


Inhaltsverzeichnis

Begriffsklärung

Zunächst wiederholen wir einige wichtige Begriffe am rechtwinkligen Dreieck.

Jedes rechtwinklige Dreieck besteht aus einem rechten Winkel (=90°-Winkel) und zwei weiteren Winkeln, die zusammen 90° ergeben.Der rechte Winkel liegt immer gegenüber von der Hypotenuse (=längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks) und zwischen den beiden Katheten. Klicke auf folgenden Link; dort findest du ein rechtwinkliges Dreieck.


Der Satz des Pythagoras

Sind a,b,c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypotenuse, so gilt :

a ² + b ² = c ²

In Worten : Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Umkehrung: Gilt in einem Dreieck a²+b²=c², dann ist dieses Dreieck rechtwinklig und der rechte Winkel liegt gegenüber von c.


Beweis

Es gibt eine Vielzahl von Beweisen für den Satz des Pythagoras. Überlege dir einige Minuten einen möglichen Ansatz für einen Beweis und folge danach dem folgenden Link, dort findest du ein schönes Exemplar:


Anwendung

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich also aus zwei bekannten Seiten die dritte Seite berechnen. Damit lässt sich nun ganz einfach die Länge der Schnur berechnen, die benötigt wird, um das Badmintonnetz zu befestigen:

(Länge der Schnur)² = (Netzhöhe)² + (Abstand zum Pfosten)²
(L) ² = (1,55 m) ² + (2 m) ²
(L) ² = 6,4025 m ²
L = 2,54 m
Die Schnur muss also mindestens 2,54 Meter lang sein.

Natürlich gilt auch die Umkehrung und man kann überprüfen ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist.

Ist die Gleichung a²+b²=c² für das gegebene Dreieck erfüllt, so ist dieses rechtwinklig.

Beispiele:

a=3, b=4, c=5 : 3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25 = 5 ², dieses Dreieck ist rechtwinklig.
a=4, b=5, c=6 : 4 ² + 5 ² = 16 + 25 = 41, 6 ² = 36, dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig.


Übungsaufgaben

Stift.gif   Aufgabe 1

Eine Kugel mit dem Durchmesser 1,0 Meter rollt auf einen Graben der Breite 0,7 Meter zu.

Wie tief sackt die Kugel in den Graben?

Gib das Ergebnis in Meter an und runde auf drei Stellen nach dem Komma.


Stift.gif   Aufgabe 2

Ein Matrose sitzt auf hoher, aber ruhiger Seein seinem Ausguck, 25 Meter über der Wasseroberfläche.

In welcher Entfernung (Luftlinie) sieht er frühestens eine auf der Wasseroberfläche treibende Luftmatratze?

Hinweis: Fertige zunächst eine Skizze an; der Erdradius beträgt 6370 Kilometer.


Stift.gif   Aufgabe 3

Ein Hochhaus brennt, im 8. Stock in einer Höhe von 16 Metern sind Personen eingeschlossen.

Die Leiter der Feuerwehr misst 20 Meter.

Wie weit darf die Leiter höchstens von der Wand entfernt stehen, um die Personen noch retten zu können?

Hinweis: Fertige eine Skizze an.


Stift.gif   Aufgabe 4

Passt ein 80 cm langer Stab in eine würfelförmige Kiste der Seitenlänge 50 cm?