Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

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Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Acker neben Straße

Stift.gif   Aufgabe

Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage

(a.) 1000m

(b.) 100m.

Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?


Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!


AckerStraße.jpg


Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:


Stift.gif   Aufgabe 1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar


Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.

Skizze "Acker neben Straße"


Stift.gif   Aufgabe 2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)


Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.

Zielfunktion


Stift.gif   Aufgabe 3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a)


Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.

Zielfunktion mit Nebenbedingung


Stift.gif   Aufgabe 4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b)


Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.

Extremwertbestimmung


Team.gif
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