Extremwertbestimmung

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Teilaufgabe a)

  • Um den Extremwert der Zielfunktion bzw. den schnellsten Weg, um von A nach B zu kommen, zu bestimmen, benötigen wir die erste Ableitung dieser Funktion, die wir gleich 0 setzen, also f'(x)=0:

f'(x)=(2x/\sqrt{400^2+x^2})-1=0

  • Durch Auflösen dieser Bedingung nach x erhält man als Lösung

x=\sqrt{\frac{400^2}{3}}\approx230.94

  • Um nachzuprüfen, ob an dieser Stelle ein lokales Minimum (schnellster Weg) vorliegt, berechnen wir die zweite Ableitung der Zielfunktion f''(x) und prüfen, ob durch Einsetzen von unserer Lösung x in f''(x) eine Zahl >0 vorliegt, also ob f''(x)>0:

Es gilt f''(x)=[2*\sqrt{400^2+x^2}-2x^2/\sqrt{400^2+x^2}]/(400^2+x^2)

und somit f''(\sqrt{\frac{400^2}{3}})>0

  • Die Weglänge über die Straße, also die Entfernung von Punkt B zu X, beträgt also

1000-\sqrt{\frac{400^2}{3}}\approx769.04.

Die Weglänge über den Acker beträgt

y=\sqrt{400^2+\sqrt{400^2/3} }\approx461.8.




Teilaufgabe b)

  • Wenn allerdings der Abstand zwischen B und C nur 100m beträgt, so lautet die zu minimierende Zielfunktion

f(x)=2*\sqrt{400^2+x^2}+(100-x)

  • Die Ableitung hiervon ist die gleiche wie in Teilaufgabe a) schon betrachtet:

f'(x)=(2x/\sqrt{400^2+x^2})-1.

Setzt man diese Ableitung gleich 0, so hat sie für 0\le x\le100 keine Nullstelle bzw. keine Lösung. Hiermit gibt es in diesem Fall kein lokales Minimum. Die Funktion ist im Intervall [0,100] also streng monoton, weshalb der minimale Wert am Rand des Definitionsbereiches liegen muss, also entweder bei x=0 oder bei x=100.

  • Durch Einsetzen von x = 0 erhält man f (0)=2*400+100=900

Durch Einsetzen von x = 100 erhält man f (100)=2*412+100-100=824

Da der Funktionswert für x=100 der kleinere ist, führt folglich der kürzeste Weg von A nach B auf gerader Linie direkt über den Acker.

Siehe auch