Umgang mit Lösungsansätzen

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Diese Seite stellt dar, mit welchen Vorgehensweisen bei der Bearbeitung mathematischer Probleme Lösungsansätze erzeugt werden können.

Die vorgestellten Verfahren sind vermutlich eher für die Oberstufe oder für mathematische Wettbewerbe geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Grundsätzliches

Lösungsansätze können durch verschiedene Mechanismen hervorgebracht werden:

  • etwa durch die Erinnerung an ein ähnlich gelagertes Problem oder
  • durch die Intuition, ein allgemeines Konzept wie "Invarianz" könnte nützlich sein, oder
  • dadurch, dass ein Problem in einem bestimmten Kontext auftritt, etwa in einer Lerneinheit zur vollständigen Induktion, oder
  • durch die mehr oder weniger formalisierte Prüfung einer Liste möglicher Lösungsansätze.

Die nachfolgenden Bemerkungen beziehen sich auf den Fall, dass vielversprechende Lösungsansätze nicht spontan verfügbar sind.

Es soll daher ein in gewissem Umfang formalisiertes Verfahren zur Erzeugung von Lösungsansätzen skizziert werden.

Schritt 1: Erstellung einer Liste von Verfahren zur Erzeugung von Lösungsansätzen

Eine solche Liste sollte mit Verfahren beginnen, die sehr häufig auf brauchbare Lösungsansätze führen, und darüber hinaus ggf. exotischere Ideen umfassen. Die ersten Punkte einer solchen Liste könnten etwa folgendermaßen aussehen:

  • Analogien: Ist ein ähnlich gelagertes und bereits gelöstes Problem bekannt? Ähnlichkeit kann sich aus das Gesamtproblem beziehen, aber auch auf einzelne Teile, etwa die Voraussetzungen oder die gesuchten Größen. Dieser Ansatz mittels ähnlicher Probleme ist eines der Kernstücke in George Polyas Vorgehen aus Schule des Denkens.
  • Modifikationen: Kann das Problem so verändert werden, dass Analogien zu anderen Problemen deutlich werden? Insbesondere sind hier Vereinfachungen oft hilfreich - Verwendung kleinerer Zahlen, Betrachtung niedrigerer Dimensionen, Reduzierung der Variablenzahl usw. Ebenfalls in diese Gruppe gehören die Betrachtung von Spezial- und Extremfällen. Außerdem hilfreich sind Listen typisch mathematischer Modifikationen: Substituieren, maximieren / minimieren, anders anordnen...
  • Beweismethoden: Hier kann geprüft werden, welche Beweismethoden für das gegebene Problem in Frage kommen. Eine Liste von Beweisarten findet sich zum Beispiel auf der Werkzeug-Seite.
  • Grundprinzipien: Als nächstes kann der Versuch gemacht werden, fundamentale Prinzipien auf das Problem anzuwenden. Zu solchen Prinzipien gehören etwa Invarianz, Symmetrie oder Rekursion. Eine umfassendere Liste solcher Grundprinzipien findet sich wiederum auf der Werkzeug-Seite.
  • Gebietsspezifische Prinzipien: In den Teilgebieten der Mathematik gibt es oft eigene allgemeine Prinzipien, die nützlich sind - etwa Betrachtungen zur Teilbarkeit in der elementaren Zahlentheorie.
  • Mathematische Aussagen aus dem Gebiet, dem das Problem entstammt.
  • Mathematische Aussagen aus verschiedenen mathematischen Gebieten. Hier sollte geprüft werden, ob sich Aussage oder Methode in irgendeiner Weise auf das Problem übertragen lassen.

Diese Liste überschneidet sich natürlich ganz erheblich mit der Werkzeugsammlung insgesamt.

Schritt 2: Von der Liste zum Lösungsansatz

Wie entstehen nun aus der Liste Lösungsansätze, die weiter untersucht werden können?

Ein mögliches Verfahren könnte so aussehen:

  • Man wählt eines der Verfahren der Liste. Dabei kann man sich natürlich von Erfahrung und Intuition leiten lassen.
  • Man leitet aus diesem Verfahren Ideen ab. Dabei sollte man im Zweifel eine Anwendbarkeit zu erzwingen versuchen. (Ein ähnliches Vorgehen wird außerhalb der Mathematik als Kreativitätstechnik unter dem Namen Force Fit eingesetzt.[1][2]) Die Mehrheit der Verfahren lässt sich auf das Problem vermutlich auch bei einiger Fantasie und Erfahrung nicht anwenden; am Ende sollte eine Handvoll von Verfahren auf Lösungsansätze führen.

Die so erzeugten Lösungsansätze sind in den meisten Fällen bestenfalls die Keime einer vollständigen Lösung. In der Regel müssen die Ansätze näher untersucht und ausgearbeitet werden - oft genug mit der frustrierenden Einsicht, dass es so doch nicht geht.

Wie viele Lösungsansätze sollte man erzeugen, bevor man mit der Auswertung eines einzelnen Ansatzes beginnt?

  • Allgemein ist das kaum zu beantworten - wenn der gefundene Ansatz äußerst vielversprechend aussieht, kann man sich die Suche nach alternativen Ansätzen gewiss sparen.
  • In der Regel scheint es jedoch besser zu sein, jeweils mindestens zwei hinreichend sinnvolle Ansätze zu erzeugen und den meistversprechenden zu untersuchen. Dies bietet auch die motivierende Gewissheit, beim Scheitern des Ansatzes noch einen weiteren Pfeil im Köcher zu haben.

Bemerkungen

  • Sofern aufgrund der Bearbeitungssituation (Test, Wettbewerb) eine schriftliche Werkzeugsammlung nicht benutzt werden kann, so bieten Merkwörter eine Hilfe. Ein Beispiel ist SCREAM: substituieren, combinieren, rearrangieren, eliminieren, adaptieren, maximieren / minimieren / modifizieren.

Fußnoten

  1. Siehe etwa [1].
  2. Was sich hier überdies abzeichnet ist die Möglichkeit, vorhandene Kreativitätstechniken auf mathematische Probleme zu übertragen.
  3. Dieses Beispiel ist natürlich arg geschönt, verdeutlicht aber hoffentlich die Grundidee.