Grundideen

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Diese Seite stellt ein Verfahren vor, das beim Lösen mathematischer Probleme helfen kann.

Inhaltsverzeichnis

Was sind die Grundideen? - Übersicht

Der wichtigste Ansatz ist die Verknüpfung zweier Ideen:

  1. Schriftliche Aufzeichnungen
    Geschickte schriftliche Aufzeichnungen können das Nachdenken über mathematische Probleme sehr gut unterstützen.
  2. Das Konzept "Lösungswerkzeug"
    Hierunter soll alles verstanden werden, was beim Lösen mathematischer Probleme helfen kann.
    Beispiele sind also
    sehr allgemeine Techniken wie das Anfertigen einer Skizze,
    ein mathematisches Prinzip wie die vollständige Induktion,
    eine spezielle mathematische Aussage wie der Satz des Pythagoras,
    aber auch Alltagsratschläge wie "Mach mal eine Pause und beweg dich".

Diese beiden Bausteine führen nun auf den Ansatz, bei der Arbeit an einem Problem zwei Dokument-Typen zu benutzen:

  1. Ein "Problemblatt", auf dem das eigentliche Problem untersucht wird, und
  2. dauerhafte "Werkzeugblätter", auf denen viele Lösungswerkzeuge leicht auffindbar zusammengestellt sind.

Auf den Werkzeugblättern finden sich insbesondere Werkzeuggruppen, die sich mit den Fragen beschäftigen "Wie kann ich sinnvoll anfangen?" und "Was kann ich tun, wenn ich feststecke?".

Beide Blätter können in Papierform oder elektronisch angelegt und bearbeitet werden.

Eine wichtige Rolle spielt reflexives Denken, dessen Nutzen gut dokumentiert ist. Zur praktischen Umsetzung kann man einerseits ein geeignetes Layout des "Problemblatts" benutzen - etwa eine Spalte für den mathematischen Hauptteil, und eine separate Reflexionsspalte - und zum anderen eine Reihe von Reflexionswerkzeugen.

Ein wesentlicher Punkt ist der schrittweise Aufbau individueller Kompetenzen beim Problemlösen: Die Benutzer lernen ein Rahmenvorgehen kennen und erhalten sehr konkrete Tipps für den Anfang. Danach können sie das Verfahren an ihre individuellen Bedürfnisse anpassen und laufend fortentwickeln.

Insbesondere liegt dem dargestellten Ansatz NICHT die Idee zugrunde, es gebe die eine richtige Vorgehensweise zum Lösen von Problemen.

Werkzeuge und Werkzeugsammlungen

Zur Gliederung von Werkzeugsammlungen

Werkzeugsammlungen lassen sich nach verschiedenen Prinzipien gliedern:

  • Gliederung nach mathematischen Teilgebieten:
    Beispiele: Geometrie, Algebra, Trigonometrie…
  • Gliederung nach sinnvollen Phasen des Problemlösens:
    Beispiel: das Problem verstehen - einen Plan machen - den Plan durchführen - Rückschau halten[1]
  • Gliederung nach typischen Hindernissen:
    Beispiele: Ich weiß keinen Anfang - Ich stecke fest - Ich habe keine Lust mehr zur weiteren Arbeit an dem Problem - …

Den einzelnen Gliederungspunkten können jeweils konkrete Werkzeuge zugeordnet werden. Die verschiedenen Gliederungen können sinnvoll kombiniert werden - es besteht keine Notwendigkeit, sich auf einen einzelnen Gliederungstyp zu beschränken.

Eine umfangreiche Zusammenstellung von Werkzeugen bietet die Seite Mathematische Probleme lösen/Werkzeuge.

Zum Aufbau von Werkzeugsammlungen

Die folgenden Maßnahmen können beim systematischen Aufbau einer Werkzeugsammlung eingesetzt werden:

  • Vermitteln mathematischer Aussagen und Zusammenhänge,
  • Einüben des mathematischen Handwerkzeugs,
  • Bearbeiten einer geeignet zusammengestellten Reihe mathematischer Probleme.

Wesentlich ist, dass der Benutzer möglichst aktiv an der Zusammenstellung seiner Werkzeugsammlung mitarbeitet. Für eine Einführung im Schulunterricht ist eine Analogie zwischen "Handwerk" und "Kopfwerk" geeignet - wer ein mathematisches Problem lösen will, kann ähnlich vorgehen wie ein Handwerker, der für eine bestimmte Arbeit eine Kombination unterschiedlicher Werkzeuge einsetzt.

Zur Repräsentation von Werkzeugsammlungen

Sammlungen mathematischer Werkzeuge lassen sich auf verschiedene Weisen darstellen:

  • als Sammlung individuell gestalteter Blätter mit Lösungswerkzeugen
  • als Poster [2]
  • als gegliederte Liste
  • als Mindmap
    • Die hierarchische Gliederung einer Mindmap ist der oftmals hierarchischen Gliederung der Werkzeugsammlung (oder Teilen davon) angemessen.
    • Beim Erstellen der Mindmap kann Software eingesetzt werden.
      Das kostenlose Programm Freeplane bietet die Möglichkeit, Formelausdrücke in LaTeX in die Mindmap einzubinden.
    • Beispiel-Mindmap.

Hinweis: Die Ausarbeitung einer solchen Repräsentation - im Gegensatz zu einer bloß mentalen Repräsentation - hat eine ganze Reihe wichtiger Vorteile:
Wer eine solche Sammlung zusammenstellt,

  • macht sich das eigene Vorgehen beim Lösen von Problemen bewusst,
  • kann leichter erkennen, bei welchen Aspekten des Problemlösens es an Instrumenten fehlt,
  • bietet anderen leichter die Möglichkeit, von seinen Werkzeugen zu profitieren und
  • verankert vorhandene Werkzeuge besser im Arbeitsgedächtnis.

Notizen machen

Vorteile schriftlicher Aufzeichnungen

Schriftliche Aufzeichnungen sind beim Lösen mathematischer Probleme eine große Hilfe. Sie unterstützen das Nachdenken , indem sie

  • die Konzentration bündeln,
  • die Klärung von Gedanken unterstützen,
  • beim Sammeln und Auswerten von Lösungsansätzen helfen,
  • das Gedächntnis entlasten,
  • Gedanken leichter überprüfbar machen und
  • Ideen dokumentieren, so dass zum Beispiel die Fortsetzung der Arbeit nach einer Pause leichter fällt.

Bausteine für schriftliche Aufzeichnungen

Mit welchen Techniken schriftlicher Aufzeichnungen kann die Bearbeitung mathematischer Probleme sinnvoll unterstützt werden?

Es folgen einige Bausteine:

  • Schreibmaterial: Druckbleistift, Radiergummi, lose Blätter samt Aufbewahrungsmappe.
  • Einsatz von Diagrammen und Zeichnungen
  • Einführung geeigneter mathematischer Notationen
  • Einsatz geeigneter Layouts, etwa:
    • 2-Spalten-Layout
      Hierbei wird das Notizenblatt durch eine senkrechte Linie in 2 Spalten unterteilt. Die linke Spalte bietet Platz für die eigentlichen Hauptüberlegungen zum Problem, etwa Skizzen, Fragen und Nebenrechnung; die rechte Spalte kann für reflektierendes Denken genutzt werden (Wo hakt es gerade? Was könnte ich jetzt tun?), aber auch für spontane Einfälle, die später ausgewertet werden können. Hier ist ein Beispiel.
    • Kombinationen von Mind Maps und traditionellen mathematischen Notizen
      Ein sinnvolles Vorgehen kann hier darin bestehen, dass die Seite unterteilt wird: Das obere Drittel ist für eine Mindmap zum Problem bestimmt, die beiden unteren Drittel für herkömmliche mathematische Notizen mit Diagrammen und Nebenrechnungen.

Eine umfassendere Sammlung solcher Techniken findet sich auf der Seite Mathematische Probleme lösen/Werkzeuge.

(Ergänzungen zu diesen Techniken sollten auf der Werkzeug-Seite erfolgen.)

Reflexion

Grundidee

Reflektierendes Denken gehört zu den wichtigsten Hilfen beim Lösen mathematischer Probleme.

Zur Umsetzung reflektierenden Denkens

Reflexion kann erleichtert werden durch eine sinnvolle Kombination von geeigneten Notiz-Techniken und geeigneten Werkzeugen.

  • Beispiel: Bei dem soeben geschilderten 2-Spalten-Layout können Ideen zur Reflexion notiert werden, unter Verwendung geeigneter Reflexionswerkzeuge.
  • Beispiele für Reflexionswerkzeuge finden sich in dem bereits genannten Artikel Mathematische Probleme lösen/Werkzeuge.

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Fußnoten

  1. Frei nach George Polya: Schule des Denkens. Siehe dazu etwa diesen Artikel.
  2. Ein Beispiel in englischer Sprache: [1]

Linkliste

Siehe auch