Mathematik LK 12

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Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Mathe LK 12

Unser Schulwiki Mies-van-der-Rohe-Schule.


Vollständige Induktion

Beweis der Allgemeingültigkeit einer Aussage A(n) mit Hilfe der vollständigen Induktion    

1.) Die Aussage A(n) ist für ein bestimmtes n_0 gültig.

2.) Für jedes beliebige n \geq n_0 gilt: A(n+1) ist wahr, wenn A(n) gilt.

3.) Wenn 1.und 2.) gezeigt wurde, dann ist A(n) für alle n \geq n_0 wahr.

oder sind Sie anderer Meinung?

Übungsaufgaben mit Lösungen finden Sie unter http://www.emath.de/Referate/


L'Hospital

Die Regeln von L'Hospital    

1.) \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, wenn  f(x_0)\,=\,g(x_0)\,=\, 0 und g'(x_0) \ne 0

2.) \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}, wenn der erste Grenzwert unbestimmt und der zweite bestimmt ist.


Extremwertaufgaben

1.) Aufstellen der Zielfunktion, die beschreibt, was extrem werden soll.

2.) Aufstellen der Nebenbedingung, die den Zusammenhang der Variablen aus der Zielfunktion beinhaltet.

3.) Einsetzen der Abhängigkeit der Variablen in die Zielfunktion, sodass nur noch eine unabhängige Variable verbleibt.

4.) Bestimmung des Extremums.

5.) Einsetzen des Extremums in die Nebenbedingung, so dass die andere Variable numerisch ausgerechnet oder die Beziehung zwischen den Variablen explizit angegeben werden kann.

Lösungen zur den Extremwertaufgaben aus dem Buch S.96-100

  • A4) 3cm. A5) Höhe:5cm,Breite:15cm,Länge:30cm A6a) a=1dm und h=0,5dm ein maximales Fassungsvermögen von 0,5dm^3 b) a=sqrt(2)/2 dm und h=2sqrt(2)dm/3 maximales Fassungsvermögen sqrt(2)/3 dm^3 c) (für(a)) a=sqrt(O/3) für ((b)) a=sqrt(O/6)) A7) r=b=u(pi+4) A8) maximale Tragfähigkeit für g=d/sqrt(3) und h=sqrt(2/3)d^2, also T=c 2d^3/3sqrt(3) A9)a=rsqrt(2): quadratische Säule A10) a=49/4 cm und b=49/2 cm A11) r=1dm/sqrt(6pi) h=2r A12) r=h=pi^(1/3) A13) Halbkugel A14) h=r A15) x=6 cm und y=4 cm A16) x=2,4cm, y=4cm A17) Fall(1) x=a/2+b/4 liegt im Definitionsbereich von A, also b/4<a<3b/2, und Amax=(a/2+b/4)^2 für x=y=a/2+b/4. A18) a)x=2r/3 y=h/3 V=4pihr^2/27 b) x=4r/9 V=32pihr^2/729 A19)In der Halbkugel h=r/sqrt(3) a=2h=2r/sqrt(3) Vmax=4r³/3sqrt(3) A20) r=2R/3 h=H/3 V=4piHR^2/81 A21) h=sqrt(48)cm r=sqrt(96)cm V=32pisqrt(48)cm^3 A22) Würfel mit a=V^(1/3) A23) h=3(V/36)^(1/3) a=(6V)^(1/3) A24) r=2sqrt(2)r/3 und s=2sqrt(2/3)r Mmax=8pisqrt(3)r^2/3 A25) h=s/sqrt(3) V=4s^3/(9sqrt(3) A26) a)a=2A/3 h=H/3 V=4A^2H/27 b)a=2sqrt(2)R/3 h=H/3 V=8R^2H/27 A27) alpha=2pisqrt(2/3) A28)a) L=sqrt(x^2-(4-x)^2) c) (0|0),(sqrt(7/2)|sqrt(15/4)),(-sqrt(7/2)|sqrt(15/4)) A29) (1)P(1|1) (2) P(-1|1/3) A30) Minimum für x=(x1+x2+...+xn)/n A31) h=(500/36)^2/9,81=19,684 A32) t=ln2 A33) sin(alpha)/sin(beta)=c1/c2 A34) x=25 p=50 A35)8 A36)a)x=50, 1/2 b)x=65 A37)a)x=4000/49 sin(alpha)cos(alpha) b) alpha=49° A38) a=10cm Würfel A39) Einfallswinkel=Ausfallswinkel A40) a)x etwa 164,74 b) x etwa 205,67 A41) Lambdamax mal T=2,898E(-3)mK (Wiensches Verschiebungsgesetz).


Spezialaufgabe: Zur Lösung brauchen Sie die Ableitung des Arcustangens:  (arctanx)' = 1/(1+x^2)

(Quelle: Wille: Humor in der Mathematik (leicht abgeändert)) Ein Schüler geht hinter einem Mädchen mit auffallend schönen Beinen her.

Frage: In welcher Entfernung muss er hinter dem Mädchen hergehen, um die Beine, soweit sie unter dem Rock hervorschauen, unter dem größtmöglichen Blickwinkel zu sehen? Die Höhe des Rocksaumes über dem Erdboden sei 60cm und die Augenhöhe des Schülers 178cm.

Der junge Lehrer (ohne ../in) pflegt hinzuzufügen: DER TROST DABEI IST, DASS DIE GESUCHTE ENTFERNUNG NICHT UNENDLICH IST UND DIE MORAL, DASS SIE NICHT NULL IST.

Funktionsscharen

Übung für die Klausur

von Herrn Buer Pdf20.gif MaLK12Klausurübung2

von Herrn Bröcker Pdf20.gif MaLK12Klausurübung3 und Pdf20.gif MaLK12Klausurübung3Lös


Das Integral

((Hier kommt eine Skizze))

I=\int\limits_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x

Wobei b der obere Grenzwert ist und a der untere Grenzwert. Und f der Integrand ist.


Das Integral I einer Funktion in den Grenzen von a bis b entspricht der Summe der orientierten
Flächeninhalte zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und den Parallelen zur y-Achse mit
x=a und x=b


((Ein Beispiel für ein Integral, das sich geometrisch ableiten lässt))

z.B.: \int\limits_{a}^{b} x\, \mathrm{d}x = \frac {1}{2}(b^2-a^2)

((Skizze))


Die Integralfunktion

Die Integralfunktion 
I(x)
ist eine Funktion des Integrals abhängig von der oberen Grenze x bei einer festen unteren Grenze a .

I(x)=\int\limits_{a}^{x} f(x')\, \mathrm{d}x'


Bsp.: y(x')=x'
I(x)= \int\limits_{0}^{x} x'\, \mathrm{d}x' = \frac {1}{2}x^2

Der Hauptsatz

Die Ableitung der Integralfunktion ergibt die Integrandfunktion.

Benötigt für den Beweis wird die Definition der Ableitung

I'(x)=\lim_{x' \to x}  \frac {I(x) - I(x')}{x-x'}=f(x)

In Worten: Der Flächenstreifen I(x)-I(x') ist durch den Funktionsgraphen f(x'') für x'<x''<x das Intervall [x',x] auf der x-Achse und die Parallelen zur y-Achse bei x=x' und x=x begrenzt. Wenn x'->x strebt, dann geht die Berandung der Fläche durch den Funktionsgraphen gegen f(x), die wir die Höhe des Streifens nennen. Die Fläche eines Flächenstreifens I(x)-I(x') durch die Breite  x-x' geht dann gegen die Höhe f(x), wenn  x' -> x strebt

z.B.
f(x)=x^2
\int\limits_{0}^{1} x^2\, \mathrm{d}x =\Big [ \frac {1}{3}x^3 \Big ]_0^3=\frac {1}{3} Das Ergebnis zeigt uns nun, wie viele Kästchen in dem Bereich von 0 - 1 vorhanden sind.
\int\limits_{0}^{0,5} x^2\, \mathrm{d}x =\Big[ \frac {1}{3}x^3 \Big ]_0^{0,5} =\frac{1}{24}Das Ergebnis zeigt uns nun, wie viele Kästchen in dem Bereich von 0 - 0,5 vorhanden sind.

Mittelwert

Der Mittelwert einer Funktion über dem Intervall [a;b] ist definiert als \frac{1}{b-a} \int_a^b{f(x)dx}
Mittelwertsatz: Es gibt ein c \in [a;b] für das  f(c)= \frac{1}{b-a} \int_a^b{f(x)dx} 


Partielle Integration

\int xe^x\, \mathrm{d}x = ?

Herleitung der Formel

\Big[u(x)*v(x)\Big]_a^b=\int\limits_{a}^{b} [u(x) * v(x)]'\, \mathrm{d}x
 = \int\limits_{a}^{b} u'(x) * v(x)+ u(x) * v'(x) \mathrm{d}x
=\int\limits_{a}^{b} u'(x)*v(x)\mathrm{d}x+ \int\limits_{a}^{b}u(x) * v'(x) \mathrm{d}x

Und nun kommt die Formel

 <=> \int \limits_{a}^{b} u(x) * v'(x)\mathrm{d}x = \Big[ u(x) * v(x)\Big]_a^b - \int \limits_{a}^{b} u'(x) * v(x) \mathrm{d}x

und wird auf unser Problem angewendet

 \int \limits_{a}^{b} x * e^x = \Big[ e^x * x \Big]_a^b - \int \limits_{a}^{b} e^x \mathrm{d}x
 => \Big[ e^x * x - e^x \Big]_a^b = e^b * b - e^b - e^a * a + e^a

So, das sieht jetzt erst mal kompliziert aus, ist es aber gar nicht. Ich zeig euch das mal an einer Aufgabe.

S. 201 A 6

 \int \limits_{1}^{2} (x - 2) * e^x \mathrm{d}x
 = \Big[ e^x * (x - 2) \Big]_1^2 - \int \limits_{1}^{2} e^x \mathrm{d}x  = \Big[ e^x * (x - 2) - e^x \Big]_1^2 --- jetzt nur noch die Grenzen einsetzten
 \! = 2e - e^2

Hierbei muss man nur beachten, dass man sich "richtig" entscheidet, welchen Term man aufleitet und welchen man ableitet!

Rotationskörper

Rotiert die Randfunktion um die x-Achse, ergibt sich ein Rotationskörper. Das Volumen ergibt sich als Integral dünner Scheiben statt schmaler Streifen

 \! f(x)dx -> \pi f(x)^2 dx und damit ist

 V_{rot} = \pi \int \limits_{a}^{b} (f(x))^2 dx 


Übungsaufgaben+Lösungen

Pdf20.gif Birmes_Funktionsschar Pdf20.gif Birmes_Funktionsschar2 Pdf20.gif Birmes_Mittelwerte Pdf20.gif Birmes_Schalltrichter Pdf20.gif Kersting_Rotationskörper Pdf20.gif BroekerÜbungsaufgaben

Stochastik

Must Know:

Wahrscheinlichkeit

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses E strebt bei sehr vielen Versuchen gegen die Wahrscheinlichkeit P(E) des Ereignisses.

Baumdiagramme

Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (Pfad im Baumdiagramm) gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, das bei verschiedenen möglichen Pfaden erfüllt ist, ergibt sich durch Addition der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

Laplace Modell

Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf (z.B. die einzelnen Augen eines regelmäßigen Würfels. Zahl und Adler einer Münze). Für die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses, das bei mehreren Ergebnisses erfüllt ist, gilt P(E) ist gleich der Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse pro Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Binomialkoeffizient

In einer Urne liegen n verschiedene Kugeln. Zieht man k Kugeln ohne eine Kugel zurückzulegen, so gibt es \begin{pmatrix} 
    n \\ k  \end{pmatrix} =  \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k(k-1)...1} mögliche verschiedene Ziehungen, wenn es auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht ankommt.   \begin{pmatrix}  n \\ k \end{pmatrix}  wird auch Binomialkoeffizient genannt, da die Zahlen auch bei der allgemeinen binomischen Formel vorkommen.

Binomialverteilung

Wenn die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg eines Versuchs p ist und man insgesamt n Versuche macht, so ist die Wahrscheinlichkeit, k Erfolge zu haben, durch die Binomialverteilung  P_n (k) = \begin{pmatrix} n \\ k  \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} gegeben.

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Mittelwert

Der Mittelwert oder Erwartungswert einer Größe, deren Werte k=1,...,n  mit der Wahrscheinlichkeit P(k) vorkommen, ist  \mu = \sum_{k=1}^{n}{k \cdot P(k)}. Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist \mu=np.

Varianz und Standardabweichung

Der Varianz oder mittlere quadratische Abweichung einer Verteilung, deren Werte k=1,...,n mit der Wahrscheinlichkeit P(k) vorkommen, ist  v= \sum_{k=1}^{n}{(k-\mu)^2 P(k)}. Die Standardabweichung ist \sigma=\sqrt{v}. Die Varianz der Binomialverteilung beträgt v=np(1-p)

Die Standardabweichung bedeutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% einer der Werte der Verteilung innerhalb des Intervalls  [\mu-\sigma,\mu+\sigma] mit 95,5% innerhalb [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma] und mit 99,7% innerhalb [\mu-3\sigma,\mu+3\sigma] auftritt..

Satz von Bayes

Die Wahrscheinlichkeit P_B (A) für das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B stattgefunden hat, beträgt P_B (A)=\frac{P(A und B)}{P(B)}

Damit haben wir beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten für die Pfade "umgekehrter Baumdiagramme" konstruiert und die Aussagen über die neuen bedingten Wahrscheinlichkeiten formuliert.

Sonstiges

Wiederholung Mittelstufe: Übungsblätter mit Lösungen

Ein 'Must Do' für alle die, die gut werden wollen. | Download Übungsblätter

Stoff bis zum Abi

Mathematik Digital

Seite über den gesamten Stoff bis zum Abi z.B. http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/gost00.htm