Arithmetik generationenübergreifend

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Arithmetik generationenübergreifend

Dies ist die Seite, auf der wir uns mit Günther Willmer austauschen können. Wir können hier gemeinsam mathematische Probleme besprechen und lösen, Fragen und Antworten austauschen, oder einfach nett plaudern. Keine Scheu - einfach reinschreiben!

Gruß aus der Vorlesung

Hallo Herr Willmer! Wir sind gerade in der Vorlesung, ich habe das Wiki gezeigt und die Studierenden haben mir versprochen, sich hier ganz intensiv zu beteiligen! :-)


Gerade Quadrate

Fangen wir mal an mit einem wichtigen Schluss:

Ist folgender Schluss richtig?

Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, dann ist diese Zahl gerade.

Wie beweist man diese Aussage sauber?

Ist diese Aussage Baustein für den Beweis
einer anderen wichtigen Aussage über rationale Zahlen?

Ich schlage folgendes Vorgehen vor. Bitte kritisch die einzelnen Beweisgänge hinterfragen.

Sei p^2 gerade und p ganze Zahl, dann gibt es eine nat. Zahl m mit p^2 = 2m.

Jetzt indirekte Beweisführung.

Angenommen p ist ungerade, dann gibt es eine ganze Zahl n mit p = 2n + 1 (muß man das zeigen?).

Dann ist p^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2) + 1. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung!

Wo liegt der Irrtum, wo die Unsauberkeit?

Habe ich wirklich den Sachverhalt bewiesen?

Ich werde eine zweite Variante später hier hinschreiben.

Lösungsidee

Bei dem Beweis haben Sie zwar die Annahme verwendet, aber nicht die Voraussetzung. Das sollte man aber, oder?
Also vllt so: (2n+1)^2=p^2 (Annahme) dann (2n+1)^2=2m (Voraussetzung) dann 2(2n^2+2n)+1=2m dann 2n^2+2n+1/2=m > Widerspurch, da m Element aus nat. Zahlen sein muss. Na ja, das steht aber auch in der Vorraussetzung.
Also kann gut sein, dass der Beweis genauso unsauber ist :). --Tja??? 22:14, 15. Jun. 2011 (CEST)

Hallo zusammen, ich würde die Diskussion hier gerne noch weiter offen halten, damit sich andere beteiligen können. Zur Frage von Herrn Willmer: Muss man bei p ungerade zunächst zeigen, dass p = 2n + 1? Auch diese Frage würde ich gerne weiter geben. Was meinen die anderen? --cspannagel 10:24, 20. Jun. 2011 (CEST)

Teilbarkeitsfrage

Noch eine schöne Frage

Für welche nat. Zahlen gilt n+1 | n^2 + 1  ?

Wie sieht diese Menge aus? Man muß zeigen, dass es außer diesen Zahlen, die man findet und der Bedingung genügen (Existenz), keine weiteren Zahlen gibt, die auch die Bedingung erfüllen (Vollständigkeit).

Idee

Die Menge enthält nur die Elemente 0 und 1 (falls 0 zu den nat. Zahlen gezählt ist, sonst nur 1). Ich denke, man muss zeigen, dass es nicht noch andere Elemente in dieser Menge gibt:
(n^2+1) : (n+1) = n -1 + \frac {2}{n+1} (Polynomdivision).
Damit die Teilbarkeit gilt, muss der Quotient  n -1 + \frac {2}{n+1} eine ganze Zahl sein. Also muss \frac {2}{n+1} eine ganze Zahl sein. Für alle n>1 ist dies keine ganze Zahl, sondern eine Zahl zwischen 0 und 1.
Damit gibt es keine weiteren Elemente in dieser Lösungsmenge. Oder doch?--Tja??? 22:32, 15. Jun. 2011 (CEST)

meine Idee

Erstmal vielen Dank für die interessante Idee. Kleiner Einwand: Dürfen wir an dieser Stelle die Polynomdivision verwenden (das müßte von höherer Stelle mal kommentiert werden)?

Polynomdivision haben wir noch nicht eingeführt, insofern streng genommen nein. Bei solch offenen Knobel-Problemaufgaben würde ich aber sagen, jegliche Methode sei erlaubt, die zum Ziel führt (und ich finde es schön, dass man mehrere Lösungswege hier sieht). Wer hat noch einen anderen Lösungsweg? --cspannagel 10:28, 20. Jun. 2011 (CEST)

Ich gehe so heran:

n^2+1 =n(n+1) - (n-1) durch Enfügung einer "konstruktiven Null". (habe ich natürlich stundenlang gebrütet und probiert)

Ich argumentiere jetzt so:

Wenn n + 1 | n^2 + 1 dann existiert ein k so dass n^2 + 1 = (n + 1)k

daraus folgt

(n + 1)k = n(n + 1) - (n - 1).

das heißt n - 1 = (n + 1)(n-k).

daraus folgt n + 1 | n -1.

was wegen

n - 1 < n + 1 nur für n - 1 =0 das heißt für n = 1 möglich ist.

Für  n = 1 gilt aber n + 1 | n^2 + 1, weil 2 | 2. --Günter Willmer 12:30, 16. Jun. 2011 (CEST)

Mengendefinition

Kann man allgemein eine Menge definieren? Oder kann man Mengen nur postulieren?

Historischer Hintergrund: Im Jahre 1895 erschien in Halle an der Saale der erste Teil des Aufsatzes "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" von Georg Cantor. Hier wurde die berühmte "Definition" einer Menge zum erstenmale veröffentlicht.

"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Mengegenannt werden - zu einem Ganzen."

Es fällt sofort auf, dass es sich bei dieser Formulierung um keine Definition im heute in der Mathematik einzig üblichen Sinne einer sogenannten expliziten Definition handeln kann, bei der gefordert wird, dass der definierte Begriff stets eliminiert werden kann, indem man ihn durch den definierenden Sachverhalt ersetzt. In unserem Fall wäre"Zusammenfassung bestimmter ...zu einem Ganzen". Hier würde dabei an die Stelle des Begriffes Menge lediglich andere undefinierte Begriffe treten, wie Zusammenfassung, Objekt usw.

Die Formulierung von Cantor ist somit eine ungefähre Beschreibung von dem was vorliegem muß, wenn man von einer Menge spricht. ich werde auf zwei wichtige Prinzipien eingehen:

Wenn man von Mengen spricht, so sind die Elemente x der jeweiligen Menge durch eine Aussage H(x) charakterisiert, wobei das Objekt x_0 dann und nur dann der betreffenden Menge angehört, wenn H(x_0) gilt. Man stellt weiter fest, dass die Elemente aus einem festgelegten Grundbereich zu wählen sind. Deshalb ist folgender Ansatz hinreichend motiviert: Vorgegeben sei ein bestimmter Grundbereich E von Objekten (wir nennen sie Urelemente) und eine Aussage H(x), die für die Objekte x aus E definiert ist, wobei also für jedes x_0 aus E sinnvoll die Frage gestellt werden kann, ob H(x) auf x_0 zutrifft oder nicht.

Mengenbildungsprinzip

Extensionalitätsprinzip

Frage an Herr Günther Willmer

Ich habe eine ungelöste vollständige Induktion, und wollte Sie, Herr Willmer, deshalb nach einem Tipp fragen:
Wie kann man beweisen, dass die Teilmenge T(a) eine natürlichen Zahl a mit der Primfaktorzerlegung a=  p1^k1 + p2^k2 ... + pr^kr aus (k1 +1)(k2 + 1)...(kr+1) Elementen besteht.

Anfangen könnte man vielleicht so:
Induktionsanfang: a=2, gilt da PFZ(2) = 2^1 und damit |T(2)|=2=1+1

Mein Problem ist jetzt, wie kann ich auf eine nächstes Element schließen, wenn doch dieses eine komplett andere PFZ (Primfaktorzerlegung) als das vorrige hat. Weiter noch, was ist hier meine genaue Induktionsannahme?--Tja??? 22:18, 6. Jul. 2011 (CEST)

Bin zur Zeit in Usedom und habe mir das Problem erstmal ausgedruckt. Bitte um etwas Geduld. --Günter Willmer 08:20, 7. Jul. 2011 (CEST)

Dann wünsche ich Ihnen noch einen schönen Zeit in Usedom und weniger Regen als hier im Süden.
Inzwischen bin ich selbst auch weitergekommen, allerdings nicht fertig geworden:
Induktionsannahme: Für die Teilmenge aller natürlichen Zahlen a von 2 bis n gilt, dass die Teilmenge T(a) der natürlichen Zahl a mit der Primfaktorzerlegung a=  p1^k1 + p2^k2 ... + pr^kr aus (k1 +1)(k2 + 1)...(kr+1) Elementen besteht.
Induktionsschritt: von n auf n+1
a) ist n+1 eine Primzahl, so ist ihre PFZ p^1 und |T(n+1)| =2=1+1. OK!
b) ist n+1 keine Primzahl, so ist sie zerlegbar in zwei Zahlen a,b gleinergleich n, größergleich 2. Für diese a und b gilt nach der Annahme, dass die Formel für die Teilmengenanzahl gilt.
Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. --Tja??? 12:51, 17. Jul. 2011 (CEST)