Beweisen ohne zu bescheißen

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Farm-Fresh brain.png   Vorwissen

Bevor du hier loslegst, solltest du die folgenden Bausteine zuvor durchgearbeitet haben:

Farm-Fresh pencil add.png   Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen jeweils auf zwei Wegen:

a) präformal-anschaulich mit Hilfe von Venn-Diagrammen

b) formal unter Rückgriff auf die Definition der Mengengleichheit

Du darfst die Aufgaben auch gerne "dosieren". Mach nicht alle auf einmal, sondern hebe dir auch welche für später auf.

Kommutativgesetze:
1. A\cup B = B\cup A
2. A\cap B = B\cap A

Assoziativgesetze:
3. (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)
4. (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)

Idempotenzgesetze:
5. A\cup A = A
6. A\cap A = A

Distributivgesetze:
7. A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)
8. A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)

Verschmelzungsgesetze:
9. A\cup (A\cap B) = A
10. A\cap (A\cup B) = A

de Morgansche Gesetze:
11. L\setminus (A\cup B) = (L\setminus A) \cap (L\setminus B)
12. L\setminus (A\cap B) = (L\setminus A) \cup (L\setminus B)

Und noch folgende schnuckelige Aussagen! (Hinweis: Manche von diesen Aussagen sind vielleicht gar nicht richtig. Dann finde ein Gegenbeispiel!)
13. A\cup B=A\Rightarrow B\subseteq A
14. A\cup B=A\cup (B\setminus A)
15. (A\cup B)\cap C = (A\cup C) \cap (B\cup C)
16. (A\cap B)\cup C = (A\cap C) \cup (B\cap C)

Und diese beiden hier haben wir nachträglich noch hinzu genommen:
17. (A\cup B)\setminus C = (A\setminus C)\cup (B\setminus C)
18. (A\cap B)\setminus C = (A\setminus C)\cap (B\setminus C)


Farm-Fresh hand point.png  Tipps

Du benötigst einen Tipp? Den bekommst du hier: Tipps (Schau dir die Tipps aber nur an, wenn du es wirklich selbst versucht hast und nicht weiterkommst!)