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Menge

Nach Georg (!) Cantor ist eine Menge folgendermaßen "intuitiv" definiert:







Will man sagen, dass ein Objekt ein Element einer Menge ist, dann geht das z.B. so: 3\in \mathbb{N_0}. Wenn dies nicht der Fall ist, logischerweise \neg (-1\in \mathbb{N_0}) oder -1\not\in \mathbb{N_0}.

Beispiele für Mengen:












Mit |M| wird die __________________ der Menge M bezeichnet (d.h. die Anzahl der Elemente in |M|). So ist beispielsweise |\{1,4,5\}|= ________, und |\emptyset|=________.

Mengenoperatoren

Seien A, B Mengen. Vervollständige die Definitionen für Vereinigungsmenge, Schnittmenge und Differenzmenge und veranschauliche dir das jeweils mit Mengendiagrammen:

Vereinigungsmenge zweier Mengen: \forall x.\ x\in A\cup B\Leftrightarrow






Schnittmenge zweier Mengen: \forall x.\ x\in A\cap B \Leftrightarrow






Differenzmenge zweier Mengen: \forall x.\ x\in A\setminus B \Leftrightarrow







Wenn A\cap B=\emptyset, dann heißen A und B _________________________________.


Relationen zwischen Mengen

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element aus A auch in B ist und umgekehrt!

Formal: A = B \Leftrightarrow

Es gibt auch Analogien zur "kleiner" bzw. "kleiner-gleich"-Relation der natürlichen Zahlen, nämlich die Teilmengenbeziehung:

Teilmenge: A\subseteq B \Leftrightarrow

echte Teilmenge: A\subset B\Leftrightarrow


Für die Gleichheit zweier Mengen gilt:

  • A = B \Leftrightarrow

Ist B\subseteq A, so heißt die Differenzmenge A\setminus B auch Komplement von B in A und wird mit B^c bezeichnet.

Gleichheit von Mengen

Veranschauliche dir mit Hilfe von Venn-Diagrammen folgende Gleichung: (A\cap B) \cap C = A\cap (B\cap C)











Beweise die Gleichheit der beiden Mengen mittels Rückführung auf die Definition der Mengengleichheit und durch Äquivalenzumformungen.












Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!