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Umrechnung von Zahlensystemen

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Diese Selbstlerneinheit bietet eine Einführung in die verschiedenen Zahlensysteme und lehrt uns deren Umrechnung, z.B. Binärzahlen in Dezimalzahlen.


Inhaltsverzeichnis

Einführung

Schon seit der Antike versucht man Zahlen aufzuschreiben. Angefangen hat es vielleicht mit Strichen, sodass 4 Striche ⎟⎟⎟⎟ die Zahl 4 darstellen. Doch schon nach 15 Strichen wird es schwer die genaue Anzahl der Striche zu bestimmen. Deswegen hat man sich gedacht, dass man eine bestimmte Anzahl an Strichen zu einem Paket zusammenfasst. Wir packen 5 Striche zu einem Paket. Das würde dann wie folgt aussehen: Karabeyazm 5.jpg

So könnte man zum Beispiel die Zahl 10 entweder so ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟darstellen oder aber viel einfacher Karabeyazm 5.jpgKarabeyazm 5.jpg .


Symbol Wert
l 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Für große Zahlen ist diese Schreibweise aber sehr umständlich. Deswegen haben die Menschen angefangen Symbole zu entwerfen, um größere Zahlen besser darstellen zu können. Eine der bekanntesten ist die Zahlschreibweise der Römer (siehe rechte Tabelle).

Beispiel :

125 = CXXV

6461 = MMMMMMCDLXI

Am letzten Beispiel sieht man, dass je größer die Zahl wird, desto mehr M's werden am Anfang stehen. Streng genommen müsste man jetzt für 5.000, 10.000, 50.000 usw. ein Symbol einführen, d.h. je größer die Zahl wird, desto mehr Symbole müssen eingeführt werden. Also haben wir unendlich viele Symbole für unendlich Zahlen.

Diese Schreibweise ist demnach auch sehr umständlich, denn hier kann es passieren, dass bei großen Zahlen, die neu eingeführten Symbole vergessen bzw. verwechselt werden.

Also brauchen wir ein Zahlensystem, dass mit endlichen Symbolen unendlich viele Zahlen darstellen kann. Hier kamen uns die Araber mit ihrem damaligen arabischen Zahlen zur Hilfe.

Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, welches mit einer endlichen Anzahl von Symbolen unendlich viele Zahlen darstellen kann, wobei die Stellung eines Symbols einen wichtigen Einfluss auf die Wertigkeit hat. Zahlen werden also durch eine Folge von vordefinierten Symbolen dargestellt : an,an-1,….,a0 z.B. 1234.

Einen Wert bekommt diese Zahl erst wenn man das nachfolgende Rechenschema darauf anwendet :

Wert = an * Basisn + an-1 * Basisn-1+….+z0.

Wert = \sum_{i=o}^{n} zi * Basisi.

Stellenwertsysteme arbeiten also immer mit einer Basis b unter der Bedingung b>1. Die Konsequenz hieraus ist, dass für die Darstellung von Zahlen genau b verschiedene Symbole zur Verfügung stehen, welche einem Wert zwischen 0 und b-1 zugeordnet werden. Falls die Basis b größer als 10 sein sollte werden die Zahlen ab 9 durch Großbuchstaben ersetzt, beispielsweise: 10 = A, 11 = B,… Die wichtigsten Stellenwertsysteme sind das Dezimal, Dual(Binär), Hexadezimalsystem und das Oktalsystem.

Dezimalsystem

Im alltäglichen Leben verwenden wir normalerweise Zahlen, die sich aus den Ziffern 0-9 zusammensetzen. Nach der 9 kommt beim Hochzählen dieser Stelle wieder eine 0 und die nächst höhere Stelle wird um 1 hochgezählt. Bei der Zahl 6469 kommt zum Beispiel die Zahl 6470. Auf der Einserstelle wurde aus der 9 eine 0 und auf der Zehnerstelle wurde die 6 um eins erhöht, also zur 7. Bei der Zahl 2999 wäre die nächste Zahl 3000. Hier geht der Wechsel sozusagen von der Einserstelle bis zur Tausenderstelle.

Also ab 10 und jedem Zehnfachen ( 100,1000,..) wird eine neue Stelle angefangen und deswegen heißt unser Zahlensystem Zehnersystem bzw. Dezimalsystem(lat.decem „zehn“). Die Basis im Dezimalsystem ist demnach 10. Zum Beispiel wissen wir, dass die Zahl "6461" den Wert 6461 hat, aber wie errechnet sich dieser? Jeder der Ziffern bekommt je nach Position eine andere Wertigkeit, so gehört die erste 6 zur Kategorie der Tausender und die zweite 6 zu den Zehnern.


Tausender Hunderter Zehner Einer
6 4 6 1
6 * 1000 4 * 100 6 * 10 1 * 1 = 6000 + 400 + 60 + 1 = 6461
Das ist das gleiche wie :
6 * (10*10*10) 4 * (10*10) 6 * (10) 1 * (1) = 6000 + 400 + 60 + 1 = 6461
Nach den Regeln der Potenzrechnung :
6 * 103 4 * 102 6 * 101 1 * 100


Die letzte Zeile der Tabelle zeigt uns, dass wir im Grunde nichts anderes machen als die allgemeine Wertformel für Stellenwertsysteme zu nehmen und mit der Basis 10 zu rechnen.

Wichtig: Da das Dezimalsystem unser alltägliches Zahlensystem ist, werden wir bei den nachfolgenden Systemen für die Wertzuordnung immer dieses System benutzen, d.h. im Rahmen der unterschiedlichen Zahlensysteme werden Sie auch gleichzeitig deren Umwandlung ins Dezimalsystem kennenlernen.

Binärsystem

Dezimalzahlen
0 bis 10
im Binärsystem
Wertigkeit:
8 4 2 1
Null:
0 0 0 0
Eins:
0 0 0 1
Zwei:
0 0 1 0
Drei:
0 0 1 1
Vier:
0 1 0 0
Fünf:
0 1 0 1
Sechs:
0 1 1 0
Sieben:
0 1 1 1
Acht:
1 0 0 0
Neun:
1 0 0 1
Zehn:
1 0 1 0

Das Binärsystem (lat.binär "aus zwei Grundeinheiten bestehend") ist ein Zahlensystem zur Basis 2. Das heißt es dürfen nur die Ziffern 0 und 1 zur Darstellung verwendet werden. Da "0 und 1" auch für "ja oder nein" oder "an oder aus" oder "Strom oder nicht-Strom" stehen kann, ist dies das Zahlensystem, in denen eigentlich Computer "rechnen" und Daten speichern: Die kleinste Informationseinheit, das Bit(nein, hat nichts mit Bier zu tun :) ), ist gerade die Information über die beiden Möglichkeiten 1 oder 0.

Deswegen ist das Binärsystem aufgrund seiner Bedeutung in der Informationstechnologie nach dem Dezimalsystem eines der wichtigsten Zahlensysteme. Das Binärsystem bildet die Grundlage der Dualarithmetik und der Booleschen Algebra und hat eine große Bedeutung für die digitale Datenverarbeitung.

Bei der Zahldarstellung werden die Ziffern, wie im Dezimalsystem, ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, die höchstwertige Stelle also ganz links, die niederwertigste Stelle ganz rechts. Ihr Stellenwert entspricht aber der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz.

Am besten stellt man sich Binärzahlen in einer Stellenwerttabelle vor :

Binärzahl: (101010)2
Position 5 Position 4 Position 3 Position 2 Position 1 Position 0
1 0 1 0 1 0
1 * 25 0 * 24 1 * 23 0 * 22 1 * 21 0 * 20
32 0 8 0 2 0
= 32 + 8 + 2 = (42)10

Hinweis: Die kleine 2 hinten rechts an der Zahl bedeutet: "Diese Zahl ist eine Binärzahl" bzw. bei einer 10 "Diese Zahl ist eine Dezimalzahl".

Dieses Quiz solltest du erfogreich abschließen bevor du zum nächsten Kapitel gehst.

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Hexadezimalsystem

Hex Binärsystem Dez
0
0 0 0 0
00
1
0 0 0 1
01
2
0 0 1 0
02
3
0 0 1 1
03
4
0 1 0 0
04
5
0 1 0 1
05
6
0 1 1 0
06
7
0 1 1 1
07
8
1 0 0 0
08
9
1 0 0 1
09
A
1 0 1 0
10
B
1 0 1 1
11
C
1 1 0 0
12
D
1 1 0 1
13
E
1 1 1 0
14
F
1 1 1 1
15

Im Hexadezimalsystem (von griech. hexa „sechs“ und lat. decem „zehn“) werden Zahlen zur Basis 16 dargestellt. In der Datenverarbeitung ist das Hexadezimalsystem sehr beliebt, da es sich hierbei um eine einfachere Verwaltung des Binärsystems handelt. Es handelt sich mit seiner Basis als vierte Zweierpotenz( 16=24) zur einfachen Notation von Binärzahlen. Somit entsprechen genau 4 Binärzahlen einer Hexadezimalzahl.

Zu beachten ist jedoch noch, dass das Hexadezimalsystem 16 Ziffern besitzt. Für die ersten 9 benutzt man wie im Dezimalsystem die Ziffern 0-9. Für die 6 zusätzlichen Ziffern benutzt man die Buchstaben A-F( siehe rechte Tabelle).

Ein weiterer wichtiger Bereich in der das Hexadezimalsystem zum Einsatz kommt ist das System der Hexadezimalen Farbdefinition. Dieses wird häufig für die farbliche Gestaltung von Internetseiten verwendet. In diesem System wird eine Farbe durch 3 aufeinander folgende Hexadezimalzahlen dargestellt, die jeweils für den Anteil der Grundfarben Rot, Grün und Blau stehen. Üblich ist sie in sechsstelliger Form, also 3 jeweils zweistellige Hexadezimalzahlen nach dem Schema #RRGGBB. Das macht pro Farbe also 28=256 Zustände. Hier steht die 0 für eine komplett ausgeschaltete Farbe und 255(FF) für 100% Farbsättigung. Zum Beispiel steht der Code '#FFFF00' für die Farbe Gelb, da hier Rot mit Grün vermischt wird.

Verhältnis von Leuchtkraft und Zahlenwert
Hex-Wert RGB-Anteil Leuchtkraft (%)
00 0 0 %
40 64 25 %
80 128 50 %
C0 192 75 %
FF 255 100 %

Hier ein paar Beispielfarben:

Farbe Name Hex-Wert
Schwarz #000000
Weiß #FFFFFF
Rot #FF0000
Grün #00FF00
Blau #0000FF
Dunkelrot #880000
Dunkelgrün #008800
Dunkelblau #000088
Farbe Name Hex-Wert
Gelb #FFFF00
Dunkelgelb #888800
Orange #FF8800
Violett #8800FF
Cyan #00FFFF
Dunkelcyan #008888

Umrechnen einer Hexadezimalzahl in eine Binärzahl :

Wie auch schon oben genannt besteht eine Hexadezimalzahl immer aus 4 Binärzahlen. Ein einfaches Rezept für diese Umwandlung :

Wandle die Hexadezimalziffern der Reihe nach in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um.

Beispiel :

(A5)16 => Wir haben einmal das A und einmal die 5. Die Binärzahlen dazu wären A=1010 und 5=0101.

Also wäre (A5)16=(10100101)2

Umrechnen einer Binärzahl in eine Hexadezimalzahl :

Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 4er-Päckchen und wandle jedes Päckchen in seine Hexadezimalzahl um.

Beispiel :

(10001100)2 -> Unser erstes Päckchen ist 1000, unser zweites Päckchen 1100. Aus obiger Tabelle kann man entnehmen, dass 1000=8 und 1100=C ist.

Also wäre (10001100)2=(8C)16

Vorsicht: Falls ein Päckchen nicht vollständig ist, fülle es nach links mit Nullen z.B. (110001100)2. Die ganz linke 1 steht alleine. Somit wäre sie das Päckchen 0001, also die Hexadezimalzahl 1.

(110001100)2=(18C)16

Dieses Quiz solltest du erfolgreich abschließen bevor du zum nächsten Kapitel gehst.

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Konvertierungen

Wir haben das Binär-,Dezimal- und Hexadezimalsystem kennengelernt. Ein weiteres bekanntes System ist das Oktalsystem( Stellenwertsystem zur Basis 8). Da uns unendlich viele Zahlen zur Verfügung stehen könnte man theoretisch auch unendlich viele Zahlensysteme nach dem Stellenwertsystem bilden. In diesem Abschnitt möchte ich euch zeigen, wie ihr eine Zahl von jedem beliebigen Zahlensystem(zu einer Basis b) in ein anderes konvertieren könnt.

Wir brauchen hierfür nur 2 Werkzeuge. Zum einen die Konvertierung von einem beliebigen Zahlensystem ins Dezimalsystem, zum anderen die Konvertierung vom Dezimalsystem in ein beliebig anderes Zahlensystem.


Werkzeug Nr.1 : Konvertierung von einem beliebigen Zahlensystem ins Dezimalsystem

Dazu schauen wir uns die allgemeine Formel für Stellenwertsysteme an( Kapitel Stellenwertsystem).

Gegeben: an,an-1,….,a0

Wert = an * Basisn + an-1 * Basisn-1+….+z0.

Wert = \sum_{i=o}^{n} zi * Basisi.

an,an-1,….,a0 steht für die Zahl die umgewandelt werden muss. Wie man sieht hat jede Stelle der Zahl den Wert der entsprechenden Basis-Potenz.

Beispiel :

(123)6 also die Zahl 123 zur Basis 6 soll ins Dezimalsystem umgewandelt werden. Die Rechnung sähe dann wie folgt aus :

1 * 62 + 2 * 61 + 3 * 60 = 1 * 36 + 2 * 6 + 3 * 1 = (51)10

(222)8 also die Zahl 123 zur Basis 8 soll ins Dezimalsystem umgewandelt werden.

2 * 82 + 2 * 81 + 2 * 80 = 2 * 36 + 2 * 6 + 2 * 1 = (146)10

Übungsaufgaben : Konvertiere ins Dezimalsystem!

1. (102)3

2. (34)5

3. (5)6

4. (125)14

5. (1332)4


Werkzeug Nr.2 : Konvertierung vom Dezimalsystem in ein beliebiges Zahlensystem

Hier werden wir nach dem folgenden Verfahren vorgehen :

  1. Teile die Dezimalzahl mit Rest durch die Basis des Zahlensystems, in welches wir konvertieren wollen.
  2. Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer der umgewandelten Zahl( von rechts nach links).
  3. Falls das Ergebnis = 0 ist, bist du fertig, wenn nicht, nimm das Ergebnis als neue Zahl und fange bei 1 an.

Beispiele :

1. (115)10 soll ins 6er-System umgewandelt werden.

115  : 6 = 19 Rest 1

19  : 6 = 3 Rest 1

3  : 6 = 0 Rest 3

=> (115)10 = (311)6

2. (476)10 soll ins 16er-System( Hexadezimalsystem) umgewandelt werden.

476 : 16 =29 Rest 12 => Hex-Zahl C

29 : 16 = 1 Rest 13 => Hex-Zahl D

1 : 16 =0 Rest 1 => Hex-Zahl 1

=> (476)10 = (1DC)16

Übungsaufgaben :

1. Konvertiere (6)10 ins 5er-System.

2. Konvertiere (508)10 ins 9er-System.

3. Konvertiere (77)10 ins 3er-System.

4. Konvertiere (328)10 ins 2er-System.

5. Konvertiere (888)10 ins 8er-System.


Konvertierung vom Zahlensystem x ins Zahlensystem y

Nun wollen wir eine Zahl von einem beliebigen Zahlensystem( zur Basis b ) in ein anderes beliebiges Zahlensystem konvertieren. Dafür werden wir unsere soeben eingeführten 2 Werkzeuge brauchen.

Die Vorgehensweise sieht wie folgt aus :

1. Wandle die Zahl mit Hilfe des Werkzeugs 1 in eine Dezimalzahl um.

2. Wandle die Dezimalzahl mit Hilfe des Werkzeugs 2 in ein beliebig anderes Zahlensystem.

Beispiel :

Konvertiere (3223)4 ins 7er-System.

  1. Werkzeug Nr.1
(3223)4= 3 * 43 + 2 * 42 + 2 * 41 + 3 * 40= 3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 3 * 1 = (235)10
  1. Werkzeug Nr.2
235 : 7 = 33 Rest 4
33 : 7 = 4 Rest 5
4 : 7 = 0 Rest 4
Lösung: (3223)4 = (454)7

Übungsaufgaben:

1. Konvertiere (1234)8 ins 9er-System.

2. Konvertiere (6461)14 ins 16er-System.

3. Konvertiere (BABA)16 ins 2er-System.


Kleiner Mathematikerwitz

Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden?

Quellenangaben