Aufgaben zu den Sätzen von Euler und Fermat

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Inhaltsverzeichnis

Entdeckungen

  1. Wir rechnen modulo 6. Bestimmen Sie für alle Elemente a\in \mathbb{Z}_6 die Potenzen a^0, a^1, a^2, ..., a^6.
  2. Führen Sie das gleiche modulo 7 durch.
  3. Führen Sie das gleiche modulo 16 durch.
  4. Suchen Sie sich weitere Moduln und führen Sie diese Überlegungen durch. Was fällt Ihnen alles auf?

Und wieder Potenzen

Berechnen Sie:

  1. 11^{182} mod 19
  2. 19^{1683} mod 24
  3. 17^{918} mod 24

Konstruieren Sie ähnliche Aufgaben und stellen Sie diese den anderen Mitgliedern Ihrer Lerngruppe!

Mal ein Beweis

Sei p eine Primzahl.

Beweisen Sie: \forall a:\mathbb{Z}. a^{p}\equiv a mod p

Zur Eulerschen Phi-Funktion

  1. Berechnen Sie \varphi(32), \varphi(64), \varphi(128), \varphi(27), \varphi(81), \varphi(243), \varphi(49), \varphi (25), \varphi (125), ... fällt Ihnen was auf? Können Sie für diese und ähnliche Fälle eine allgemeine Regel ableiten?
  2. Befassen Sie sich einmal mit folgenden Zahlen und der Eulerschen Phi-Funktion. Vielleicht schreiben Sie sich die Fälle mal systematisch auf und versuchen, eine Regelmäßigkeit zu entdecken... und zwar für: 15=3\cdot 5, 20=4\cdot 5, 30=5\cdot 6, 36=4\cdot 9

Lösungen