Die Parameter der Scheitelpunktform

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In diesem Kapitel lernst du ganz unterschiedlich aussehende Parabeln kennen. Du wirst
1. herausfinden, wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
2. entdecken, welche Parameter es in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen gibt.

Mit diesem Wissen kannst du dann selbst verschiedene Parabeln darstellen und beschreiben.


Inhaltsverzeichnis

Quadratische Funktionen verändern

Wenn du dir die Bilder von der Seite Quadratische Funktionen im Alltag noch einmal anschaust, dann fällt auf, dass die abgebildeten Parabeln anders aussehen als die gerade kennengelernte Normalparabel. In der Natur und in Anwendungen wird der Funktionsterm der Normalparabel (y = x2) variiert und es entstehen die unterschiedlichsten Parabeln.


Golden Gate Brücke Lichtspiele
Bergmassiv Parabel Elbphilharmonie


Eine Anwendung wird dir im folgenden Video gezeigt. Das Deutsche Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR) führt seit einigen Jahren Parabelflüge durch.


UbuntuStudio-Icons-Video Production.svg Video: Parabelflug des DLR


Durch unterschiedliche Parabelflüge wird die Schwerkraft, die auf dem Mond bzw. auf dem Mars herrscht, nachempfunden. In der Pdf20.gif Broschüre des DLR kannst du dir die zu fliegenden Parabeln auf Seite 16 (31) angucken.


Strecken, Stauchen und Spiegeln

Nuvola apps important.svg   Achtung:

Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel die Parameter der Normalform. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt "Verschiebung in x-Richtung".


Stift.gif   Aufgabe 1


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion y=x^2 folgende Funktionen gegeben hat:

(1) y=2x^2,          (2) y=\frac{1}{2}x^2     und     (3) y=-x^2 ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel f(x)=x^2 grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "a=" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph g(x)=a\cdot x^2 verändert.


Stift.gif   Aufgabe 2

In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.



Stift.gif   Aufgabe 3

Knobelaufgabe

Tipp: Wenn du die Kärtchen mit den Graphen anklickst, werden sie dir vergrößert angezeigt.


Stift.gif   Aufgabe 4


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.

Nuvola apps kig.png   Merke:

Multipliziert man y=x^2 mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. y=ax^2 (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Verschiebung in x-Richtung

Stift.gif   Aufgabe 5


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 5) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion y=x^2 folgende Funktionen gegeben hat:

(1) y=(x-2)^2          (2) y=(x+2)^2 ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel f(x)=x^2 grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "d=" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph g(x)=(x-d)^2 verändert.


Stift.gif   Aufgabe 6


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) Notizblock mit Bleistift.


Fabians Vermutung darüber, wie sich der Graph einer Funktion verändert, wenn man zu dem x‑Wert etwas addiert oder subtrahiert steht im Widerspruch zu seinen Beobachtungen in dem Applet. Merle versucht diesen vermeintlichen Widerspruch mit Hilfe einer Tabelle zu erklären.

a) Lies dir die Unterhaltung von Fabian und Merle durch und versuche die Begründung nachzuvollziehen.


Gespräch horizontale Verschiebung

b) Erstelle geschickt ohne zu rechnen eine Tabelle für die Funktion y=(x+3)^2.


Stift.gif   Aufgabe 7


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 2) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.

Nuvola apps kig.png   Merke:

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für y=(x-d)^2 gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.


Verschiebung in y-Richtung

Stift.gif   Aufgabe 8


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 6) Notizblock mit Bleistift.


Was passiert, wenn man statt der Funktion y=x^2 folgende Funktionen gegeben hat:

(1) y=x^2+3          (2) y=x^2-3 ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?


In dem Applet ist die Normalparabel f(x)=x^2 grau eingezeichnet, die du auf der Seite Quadratische Funktionen kennenlernen erkundet hast. Du kannst verschiedene Werte für "e=" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph g(x)=x^2+e verändert.


Stift.gif   Aufgabe 9


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 7-8) Notizblock mit Bleistift.


Graphen zeichnen einmal „verkehrt herum”: Bei dieser Aufgabe sind die Funktionsgraphen und Terme bereits gezeichnet bzw. angegeben. Was fehlt, sind die passenden Koordinatensysteme.

a) Zeichne in deinem Hefter die passenden Koordinatensysteme für drei der quadratischen Funktionen:

Funktionen für Aufgabe

b) Wenn du das Koordinatensystem für die Funktion (1)  y=0,5\cdot x^2+2 gezeichnet hast, wie kommst du dann ganz einfach auf das Koordinatensystem der Funktion (4)  y=0,5\cdot x^2+5? Formuliere einen Tipp.


Stift.gif   Aufgabe 10


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 8) Notizblock mit Bleistift.


Lucio hat noch ein Problem bei der Unterscheidung von Termen in der Form f(x)=x^2+9 und f(x)=(x+3)^2. Lies dir die folgende Unterhaltung durch. Führe sie anschließend in deinem Hefter fort, indem du dir eine Antwort auf Lucios Problem überlegst.

Unterhaltung zu typischem Fehler



Stift.gif   Aufgabe 11


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3) Notizblock mit Bleistift.

Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch. Ergänze ihn durch beispielhafte Funktionsterme.

Nuvola apps kig.png   Merke:

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von y=x^2, wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für y=x^2+e gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.


Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte

Hier sind die Merksätze, die dir auf dieser Seite begegnet sind noch einmal gesammelt dargestellt:


Nuvola apps kig.png   Merke:

Multipliziert man y=x^2 mit einem Faktor a, wird die Parabel gestreckt, gestaucht und/oder gespiegelt. y=ax^2 (mit a≠0) ergibt demnach für:

a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.

a < -1 bzw. a > 1: Die Parabel ist gestreckt.

-1 < a < 1: Die Parabel ist gestaucht.

Der Parameter a wird auch Streckungsfaktor genannt.


Nuvola apps kig.png   Merke:

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl d von x vor dem Quadrieren, so wird die Parabel entlang der x-Achse verschoben. Für y=(x-d)^2 gilt:

d > 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach rechts verschoben.

d < 0: Die Parabel wird entlang der x-Achse nach links verschoben.


Nuvola apps kig.png   Merke:

Addiert oder subtrahiert man eine Zahl e von y=x^2, wird die Parabel entlang der y-Achse verschoben. Für y=x^2+e gilt:

e > 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach oben verschoben.

e < 0: Die Parabel wird entlang der y-Achse nach unten verschoben.


Ausblick

Die auf dieser Seite gewonnen Erkenntnisse können kombiniert werden und ergeben quadratische Funktionen der Form y=a(x-d)^2+e. Diese Form heißt Scheitelpunktform, da die Parameter d und e die Koordinaten des Scheitelpunktes S(d|e) der Parabel angeben.

Auf der nächsten Seite lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel Übungen.


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Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)