Messalgebra

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Dieser Text gibt nur ein Stadium eines indivuellen Versuchs wieder, Schwinger zu verstehen, und ist noch nicht für Schüler geeignet! Kritik ist willkommen.

Algebra der Messungen

Die Quantenmechanik wird nach Schwinger als symbolisches Schema realer Messungen entwickelt, in das einbezogen wird, dass mit der Messung einer Größe eine andere Größe des Systems gestört werden kann. Diese Störung ist bedingt durch die diskrete physikalische Natur der Messung nicht beliebig minimierbar und bringt ein unkontrollierbares beziehungsweise ein statistisches Element in den Messwert der anderen Größe. Damit können entweder der Messwert der einen oder der der anderen Größe aber nicht beide gleichzeitig exakt vorliegen.

Elementare Messungen

Nehmen wir beispielsweise ein Röhrenfernsehgerät, auf dessen Schirm eine punktuelle Leuchterscheinung das Auftreffen eines Elektrons am Ort a' bedeutet. Eine derartige sogenannte elementare Messung, die den Ort eines Elektrons aus vielen anderen möglichen Orten ausselektiert, wird als

 \vert a'\rangle \langle a'\vert

symbolisiert. Die Summe zweier Messsymbole

 \vert a'\rangle \langle a'\vert + \vert a''\rangle \langle a''\vert

soll bedeuten, dass die Messung den Messwert a' und a" selektiert, aber weniger spezifisch ist und nicht zwischen ihnen unterscheiden kann. Ist die Messung völlig unspezifisch und kann zwischen keinem der möglichen Messwerte unterscheiden, so wird ihr eine Eins zugeordnet mit

 \sum_{a'} \vert a'\rangle \langle a'\vert = 1.

Bezogen auf unsere Leuchterscheinung des Elektrons auf dem Schirm bedeutet eine völlig unspezifische Messung, dass der Schirm zwar eine Leuchterscheunung zeigt, der Ort aber nicht mehr erkannt werden kann.

Das Produkt zweiter Messsymbole soll bedeuten, dass zwei Messungen hintereinander ausgeführt werden. Wird durch die erste Messung der Messwert a" selektiert und durch die zweite der Messwert a', so wird im Falle der Ungleichheit von a' und a" kein System selektiert und eine Null zugeordnet. Falls a' und a" gleich sind, dann kann die zweite der Messungen durch eine Eins ersetzt werden, da sie keine Selektion mehr vornimmt. Diese beiden Fälle werden hier durch die Deltafunktion zusammengefasst, die Eins ist, wenn a' und a" gleich sind und sonst Null ist.

 \vert a' \rangle \langle a' \vert \vert a'' \rangle \langle a'' \vert = \delta (a'',a') \vert a'' \rangle \langle a'' \vert.

Eine Verbundmessung besteht aus Messungen, die gemeinsam ausgeführt werden und sich dabei gegenseitig nicht stören. In diesem Fall erhalten die Messwerte verschiedene Indizes. Die Messungen können ebensogut auch hintereiander ausgeführt werden, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt, und es gilt

 \vert a_1 ' a_2 '\rangle \langle a_1 ' a_2 '\vert =  \vert a_1 '\rangle \langle a_1 ' \vert \vert a_2 '\rangle \langle a_2 '\vert = \vert a_2 '\rangle \langle a_2 ' \vert \vert a_1 '\rangle \langle a_1 '\vert.

Bezogen auf unser Elektron könnte mit einer Verbundmessung zusätzlich zu dem Ort auch der Spin bestimmt werden. Das könnte dadurch geschehen, dass das Material des Schirms so präpariert wird, dass je nach Spin des Elektrons eine bestimmte Farbe beim Auftreffpunkt aufleuchtet.

Eine vollständige Messung, die aus den Messwerten sovieler miteinander verträglicher Messungen besteht, dass jede weitere Messung die Messwerte stören würde, wird Zustand genannt. Das Produkt aller dieser miteinander verträglichen Messungen wird kurz zusammengefasst in

 \vert a' \rangle \langle a' \vert = \prod_{i=1}^{N} \vert a_i '\rangle \langle a_i '\vert.

Ob a' einen Messwert oder einen vollständigen Satz miteinander verträglicher Messwerte bedeutet, ergibt sich im Folgenden aus dem Zusammenhang.

Allgemeine Messungen

In eine Messung allgemeinerer Art wird auch einbezogen, dass der Zustand während des Messprozesses verändert werden kann. In diesem Fall unterscheidet man bei der Messung zwei Stadien. Im ersten Stadium wird durch das Messgerät ein Zustand a' separiert und im zweiten Stadium wird ein Zustand b' selektiert, der zu dem separierten nicht verträglich sein muss.

 \vert b'\rangle \langle a'\vert

Mit unserem Röhrenfernseher würde eine solche Messung umgesetzt, wenn ein waagerechter Schlitz einbezogen würde, durch den die Elektronen nach einer Beschleunigungsphase in die Röhre eintreten. Der Schlitz würde aus den auf die Messapparatur eintreffenden Elektronen die mit bestimmten Orten separieren und durchlassen. Ist der Schlitz schmal, so führt diese Separation dazu, dass der Impuls der Elektronen in der Vertikalen unscharf wird und sie auf dem Schirm in verschiedenen Höhen eintreffen. Mit der Leuchterscheinung auf dem Schirm wird der vertikale Impuls selektiert, den die Elektronen nach dem Durchgang durch den Schlitz erhalten. Insofern wird ein Zustand selektiert, der zu dem separierten Zustand unverträglich ist. Je exakter die Separation des Zustand stattfindet, desto größer ist der Einfluss, der dabei auf das vermessene System ausgeübt wird und desto größer ist das unkontrollierbare Element, dass dadurch auf die unverträgliche Größe des Systems ausgeübt wird. (!!) .....


Führt man zwei Messungen aus, deren Messwerte miteinander verträglich sind, so gilt

 \vert a''''\rangle \langle a'''\vert \vert a''\rangle \langle a'\vert = \delta (a''',a'') \vert a''''\rangle \langle a'\vert

Vertauscht man die Reihenfolge der Messungen, erhält man im Allgemeinen ein anderes Ergebnis.

Führt man zwei Messungen hintereinander aus, wobei die zweite Messapparatur einen Eingangszustand selektiert, der zu dem Ausgangszustand der ersten Messapparatur unverträglich ist, so lässt sich die resultierende Messung zwar als Übergang des Eingangszustands der ersten in den Ausgangszustand der zweiten Messung schreiben, doch tritt an der Übergabestelle der beiden Messungen ein statistisches Element auf, das durch die Zahl z mit

 \vert d'\rangle \langle c'\vert \vert b'\rangle \langle a'\vert = z \vert d'\rangle \langle a'\vert

gegeben sein soll, die durch

 z= \langle c'\vert b'\rangle

symbolisiert werden kann. Der letzte Fall miteinander verträglicher Messungen kann hier ebenfalls eingeschlossen werden mit den Zahlen

 \langle a'''\vert a''\rangle = \delta(a''',a'').

Mit diesen so festgelegten Zahlen lässt sich auch ein Zustand mit Hilfe anderer Zustände darstellen. Werden an einem Zustand a' Messungen einer Größe B vorgenommen, die alle möglichen zu a' unverträglichen Messwerte b' selektiert und produziert, so ergibt sich mit

 \vert a' \rangle = \sum_{b'} {\vert b'\rangle \langle b'\vert} \vert a' \rangle  = \sum_{b'} { \langle b' \vert a' \rangle \langle b' \vert}

eine Darstellung des Zustands a' mit Hilfe des Zustands b', in der die verschiedenen Messwerte des Zustands b' als Basisvektoren auftreten und die Zahlen die Komponenten des Zustands a' bezogen auf diese Basis darstellen. Die Zustände bilden damit zusammen mit den Zahlen und den Messoperatoren eine Vektoralgebra.

Physikalische Aussagen sind Aussagen über Ergebnisse von Messungen, die sich reproduzieren und damit bestätigen lassen müssen, wenn sie unter gleichen Bedingungen ausgeführt werden. Führen die Messungen unter gleichen Versuchsbedingungen zu verschiedenen Messergebnissen, so wird nur die Wahrscheinlichkeit reproduzierbar sein, mit der die gemessenen Systeme einen bestimmten der möglichen Messwerte besitzen. Treffen beispielsweise Photonen nach dem Durchgang durch einen Spalt auf einen Schirm, so werden sie dort im Allgemeinen an verschiedenen Orten gemessen. Mit zunehmender Zahl an gemessenen Photonen entwickelt sich auf dem Schirm eine reproduzierbare Intensitätsverteilung, wobei die Intensität proportional zur mittleren Zahl an Photonen ist, die pro Zeit an dem jeweiligen Ort eintreffen.


Führt man eine Messung aus, bei zunächst Zustand a', dann Zustand b' und dann wieder Zustand a' gemessen werden, also

 \vert a'\rangle \langle a'\vert  \vert b'\rangle \langle b'\vert \vert a'\rangle \langle a'\vert = \langle a' \vert b' \rangle \langle b' \vert a' \rangle \vert a'\rangle \langle a'\vert,

so gibt es zwei Zustandsübergänge, deren statistische Elemente durch das Produkt der Zahlen

 \langle a' \vert b' \rangle \langle b' \vert a' \rangle

dargestellt werden können. Wenn die beiden Zahlen ein Paar zueinander konjugiert komplexer Zahlen bilden, sodass ihr Produkt positiv ist, erfüllt es alle Merkmale eines Wahrscheinlichkeitsmaßes dafür, dass beim Vorliegen des Zustands a' der Zustand b' gemessen wird. Denn wenn die Messung B unspezifisch ausgeführt wird und zwischen den b' Messergebnissen nicht unterschieden werden kann

 \vert a'\rangle \langle a'\vert = \vert a'\rangle \langle a'\vert  \sum_{b'} {\vert b' \rangle \langle b'\vert} \vert a'\rangle \langle a'\vert = \sum_{b'}{\langle a' \vert b' \rangle \langle b'} \vert a' \rangle \vert a'\rangle \langle a'\vert ,

so addieren sich die zugehörigen Produkte, wobei die Summe über alle Produkte

 \sum_{b'} \langle a' \vert b' \rangle \langle b' \vert a' \rangle =1

ergibt, wie es für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gefordert ist.


Bislang können die Zahlen auch rein reell sein. Die Notwendigkeit eines imaginären Teils ergibt sich erst durch die folgenden Überlegungen....

Wird ein zunächst darstellungsloser Zustand \Psi mit Hilfe von Ortsmessungen x' dargestellt

 \vert \Psi  \rangle = \sum_{x'} {\vert x'\rangle \langle x'\vert} \vert \Psi \rangle  = \sum_{x'} { \langle x' \vert \Psi \rangle \langle x' \vert},

so nennt man die Zahlen abhängig von x' auch Wellenfunktion mit

 \Psi (x') = \langle x' \vert \Psi \rangle.


Im Falle der Ortsmessung eines Zustands \Psi ergibt das Produkt der Zahlen

 \langle \Psi \vert x' \rangle \langle x' \vert \Psi \rangle = \Psi ^* (x') \Psi (x') = \vert \Psi (x') \vert^2

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Ort x' gemessen wird.


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