Symmetrietransformationen

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Dieser Text gibt nur ein Stadium eines individuellen Versuchs wieder, eine Vorlesung von Julian Schwinger - "Quantum Mechanics, Symbolism of Atomic Measurements", edited by Berthold-Georg Englert - zu verstehen, und ist noch nicht für Schüler geeignet! Kritik ist willkommen.

Inhaltsverzeichnis

Symmetrietransformationen

Die physikalischen Gesetze bleiben unverändert, wenn das gesamte System inklusive der Messgeräte im Raum verschoben, gedreht, mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt oder in der Zeit verschoben wird. Ein Motor beispielweise läuft weiter, wenn man ihn an einen anderen Ort verschiebt, um einen Winkel dreht, oder wenn er auf ein fahrendes Schiff verladen wird. Die zeitliche Symmetrie drückt sich darin aus, dass der Motor, der in der Vergangenheit einmal gelaufen ist, heute genauso funktioniert, wenn er nach dem gleichen Muster und aus dem gleichen Material nachgebaut wird. Die Symmetrietransformationen müssen die Relationen zwischen den Größen der Messalgebra unverändert lassen und den Zustandsvektor und die Operatoren auf eine Weise verändern, die die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die verschiedenen Messwerte gemessen werden, unverändert lässt.


Das ist alles, was wir brauchen, um den Impuls-, Drehimpuls- und Energieerhaltungssatz und die Schrödingergleichung aus der Messalgebra abzuleiten!


Drehungen im 3D Raum

Nehmen wir als Beispiel zunächst die Drehung des Koordinatensystems als Symmetrietransformation, die die Beziehungen zwischen physikalischen Größen unverändert lassen muss. Die Komponenten zweier physikalischer Größen A und B, die klassisch in Form dreidimensionaler Vektoren \vec a und \vec b dargestellt werden, gehen nach einer Drehung um eine Achse z mit dem Winkel \phi mit der Drehmatrix

  D=\begin{pmatrix} cos\phi & sin\phi \\ -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix}
in die neuen Komponenten
\vec {a'} = D \vec a, \vec {b'} = D \vec b
über (die konstante z-Komponente wird weggelassen). Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren, das eine weitere physikalische Größe darstellen kann, sollte sich durch die Drehung des Koordinatensystems nicht ändern. Wenn nun die inverse Drehmatrix D^{-1}(\phi)=D(-\phi) gleich der transponierten D^t ist, was wegen sin(-\phi)=-sin(\phi) offensichtlich der Fall ist, dann bleibt das Skalarprodukt unverändert, denn
 \vec {a'} \cdot \vec {b'} = D \vec {a} \cdot D \vec{b} = \vec{a} \cdot D^t D \vec {b} = \vec{a} \cdot D^{-1} D \vec {b} = \vec{a}\cdot  E \vec {b}= \vec{a} \cdot \vec {b}.
Hier ist benutzt worden, dass für eine beliebige Matrix D auf den einen Vektor eines Skalarprodukts angewandt
 D\vec {a'} \cdot \vec {b'} = \vec {a} \cdot D^t \vec{b}

gilt, was sich formal leicht bestätigen lässt (sollte anschaulich erklärt werden).

Tensoren T, die Vektoren auf Vektoren abbilden (der Trägheitstensor bildet beispielsweise die Winkelgeschwindigkeit auf den Drehimpuls ab oder der Polarisierbarkeitstensor das elektrische Feld auf das induzierte Dipolmoment), müssen im transformierten Koordinatensystem die Komponenten

 \! T'= DTD^{-1}

haben, denn mit

 \vec{v} = M \vec{u}   \Leftrightarrow D \vec{v} = DMD^{-1} D\vec{u} \Leftrightarrow \vec{v'}=M'\vec{u'}

bleibt dann die Beziehung zwischen Tensor und Vektor unverändert.

Infinitesimale Drehungen

Drückt man die Drehung eines Vektors um einen kleinen Winkel \vec{v}(\phi) \rightarrow \vec{v}(\phi + \epsilon) mit Hilfe eines sogenannten Generators G aus

\vec{v}(\phi + \epsilon) = D(\epsilon) \vec v(\phi) = \vec v(\phi) + \epsilon G \vec v(\phi)=(E+\epsilon G)\vec v(\phi) ,
so muss mit
 \! E=D^{-1}D=D^{t}D=(E+\epsilon G)^{t}(E+\epsilon G)=(E+\epsilon G^{t})(E+\epsilon G)=E+\epsilon(G^{t}+G)+\epsilon^2 G^{t}G

für den Generator der Drehung G^{t}=-G gelten, wenn man das Glied zweiter Ordnung vernachlässigt.

Der Generator einer Drehung um einen kleinen Winkel \epsilon um die z-Achse ergibt sich mit Hilfe der Taylorentwicklung der Komponenten der Drehmatrix zu

  G=L_z =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Wie es sein soll, ist hier das Transponierte gleich dem Negativen des Generators. Bevor Drehungen später im Zusammenhang mit dem Hintereinanderausführen von Drehungen um verschiedene Achsen weiter untersucht werden, gehen wir erst darauf ein, wie sich Symmetrietransformationen auf die Messalgebra der Quantenmechanik auswirken.

Symmetrietransformationen in der Messalgebra

Bis jetzt lässt sich alles einem LK Physik oder Mathematik vermitteln. Nun gehts los mit dem Transfer. Zunächst werden ein paar Eigenschaften der Messalgebra wiederholt:

Eine physikalische Größe wird in der Messalgebra der Quantenmechanik als ein Zustandsvektor symbolisiert, wobei die Basisvektoren zur Darstellung seiner Komponenten jeder mögliche exakte Messwert der Größe sind. Das Skalarprodukt \langle b' \vert a' \rangle zweier Zustandsvektoren \langle b' \vert und \vert a' \rangle ordnet wie das Skalarprodukt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum dem Produkt eine Zahl zu, aber es wird auch zwischen der Reihenfolge der Vektoren im Produkt unterschieden. Der links stehende Zustandsvektor wird "Bra" genannt und der rechts stehende "Ket". Das Quadrat des Skalarprodukts \langle b' \vert a' \rangle \langle a' \vert b' \rangle entspricht der Wahrscheinlichkeit, mit der der Messwert a' gemessen wird, wenn sich das System im Zustand b' befindet Eine Messung wird durch einen Tensor bzw. Operator ausgedrückt, der einen Zustandsvektor in einen anderen überführt. Das kann auch derselbe bzw. ein Vielfaches desselben Vektors sein, wenn sich das System in dem sogenannten Eigenzustand des Operators befindet. Gibt es nur zwei mögliche Messwerte wie bespielsweise bei einer Messung des Spins, so ist das System zweidimensional; liegen die möglichen Messwerte kontinuierlich nebeneinander wie die möglichen Orte oder Impulse einer Orts- oder Impulsmessung, so ist das System unendlich dimensional. Bevor dieser Fall behandelt wird, wird zunächst einmal angenommen, dass es nur endlich viele verschiedene mögliche Messwerte gibt. Der Fall kontinuierlich verschiedener möglicher Messwerte ergibt sich dann mit Hilfe einer Grenzwertbetrachtung.

Eine Symmetrietransformation besteht darin, das Basissystem zur Darstellung des Zustandsvektors im Raum-Zeitkontinuum zu verschieben. Wir betrachten zunächst nur endlich dimemsionale Basissysteme bzw. endlich viele verschiedene Messwerte. Da die Symmetrietransformation U die physikalischen Beziehungen der Größen untereinander unverändert lässt, darf sich auch das Skalarprodukt zwischen den Zustandsvektoren nicht ändern, d.h. die Transformation bzw. der Operator U muss unitär sein. Der Operator beschreibt die neuen Basisvektoren jeweils als eine Kombinationen der alten Basisvektoren - so beschreibt die Drehmatrix oben die um den Winkel \phi gedrehten Basisvektoren als eine Kombination der alten Basisvektoren. Doch da wurde angenommen, dass es zum einen nur die drei Basisvektoren des dreidimensionalen Raums gibt, und zum anderen, dass es mit kontinuierlichen Drehwinkeln unendlich viele mögliche verschiedene mögliche dreidimensionale Basisvektorsysteme gibt. Nun müssen wir die Sache anders machen.

Unitäre Operatorbasen

Betrachten wir zunächst die Rotationen und unterteilen den Vollkreis in n verschiedene mögliche Winkel \phi_k, die gemessen werden können und nun Basisvektoren darstellen. Eine kleine Symmetrietransformation U der Rotation kann man nun so begreifen, dass jeder der möglichen Winkel \phi_k auf den nächstliegenden abgebildet wird. Damit gilt

U \vert \phi_k \rangle = \vert \phi_{k+1} \rangle,

und wenn man das Sytem etwas weiter dreht

U^2 \vert \phi_k \rangle = \vert \phi_{k+2} \rangle,

bis man nach n Dehungen wieder am Ausgangszustand angelangt ist, also

U^n \vert \phi_k \rangle = \vert \phi_{k} \rangle

und damit

\! U^n = E

ist.

U bildet also, n mal angewendet, jeden beliebigen der n Basisvektoren \vert \phi_k \rangle auf den Einheitsvektor ab. Zunächst stellen wir fest, dass die Basisvektoren keine Eigenzustände von U sind, da U sie nicht auf ein Vielfaches ihrer selbst abbildet.

Ein Eigenwert u' als das Vielfache der Abbildung des Eigenzustands \vert u' \rangle auf sich selbst
U \vert u' \rangle = u' \vert u' \rangle

muss die Gleichung

\! (u')^n=1

erfüllen, denn wenn U n mal auf den Eigenzustand angewendet wird und damit der Eigenzustand n mal mit dem Eigenwert bzw. Messwert als Faktor reproduziert wird, so muss sich insgesamt der Eigenzustand identisch reproduzieren

\vert u' \rangle = U^n \vert u' \rangle = u'U^{n-1} \vert u' \rangle = (u')^2U^{n-2} \vert u' \rangle = ...= (u')^n \vert u' \rangle.

Würde man als Lösung dieser Gleichung für die Vielfachen des Eigenvektors nur reelle Zahlen zulassen, also nur die Eins, so gäbe es ab der zweiten Dimension keinen Eigenvektor mehr, da U die Basisvektoren zu den nachfolgenden Basisvektoren verschiebt. Weitere Möglichkeiten ergeben sich aber, wenn man als Lösung der Gleichung für die Eigenwerte die n verschiedenen Potenzen der nten komplexen Wurzel

\! u'_k = e^{2 \pi i \frac{k}{n}}; k=1,2,...,n

der Eins zulässt, denn es ist

\! (u'_k)^n = (e^{2 \pi i \frac{k}{n}})^n=e^{k2 \pi i}=1.

Hiermit wird eine entscheidende Erweiterung in dem Vektorraum vorgenommen. Es werden als Vielfache eines Vektors und damit auch zur Komponentendarstellung eines Vektors als Vielfache der Basisvektoren komplexe Zahlen zugelassen, die für diesen Zwecke hier mit Betrag und Phase angegeben sind.

Einschub: Komplexe Zahlen

Da das Schema der Quantenmechanik mit Hilfe komplexer Zahlen formuliert wird, deren Behandlung im Schulunterricht im Allgemeinen entfällt, muss kurz auf diese Zahlen eingegangen werden. Zwar macht man sich im Mathematikkurs mit Intervallschachtelungen viel Mühe, irrationale Zahlen, deren Quadrat eine nichtquadratische rationale Zahl ergeben soll, als Dezimalzahl anzunähern, dass es aber Zahlen geben soll, deren Quadrat negativ ist, wird nicht problematisiert, obwohl es für Schüler sicher eine viel schönere Sache ist als die mit den Intervallschachtelungen und Grenzwerten. Schon wegen dem abschreckenden Begriff "komplex" haftet diesen Zahlen etwas Mysteriöses an, obwohl es doch eher mysteriös ist, dass man bei einer Wurzel aus einer negativen Zahl einfach sagt, "das geht nicht", während es bei positiven Zahlen geht. Seltsam ist eigentlich auch, dass (-1)*(-1)=1 genauso wie 1*1=1 ergibt. Irgendwie ist das alles nicht symmetrisch und irgendwie scheinen die positiven Zahlen bevorzugt zu werden, obwohl der Zahlenstrahl in der negativen Richtung eigentlich identisch aufgebaut ist. Viel runder (im wahrsten Sinne des Ausdrucks) würde es mit den zu allem fähigen komplexen Zahlen laufen, doch muss man sich Gedanken darüber machen, wie man sie den Schülern nahebringt.

Mein erster Versuch (Kommentare über diese Sache erwünscht!): Die Sache mit den komplexen Zahlen fängt eigentlich schon an, wenn man negative Zahlen einführt. Mit der Addition einer negativen Zahl kann man sich auf dem Zahlenstrahl rückwärts bewegen. Addiert man zwei negative Zahlen, so bewegt man sich weiter rückwärts. Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl allerdings bedeutet das Vorzeichen, dass die Richtung gewechselt wird. Wenn man -1 mit -1 multipliziert, wird dreht man die Zahl -1, die in die negative Richtung zeigt, nochmals um 180°, sodass sie wieder in die positive Richtung zeigt. Mit dem Vorzeichen kann also in eine Zahl neben ihrem Betrag auch noch eine Richtungsinformation gesteckt werden, mit der beim Addieren die Richtung vorgegeben und beim Multiplizieren die Richtung verändert wird. Nun hat der Zahlenstrahl ja nur zwei orientierte Richtungen, doch warum soll es nicht noch mehr Richtungen geben, die man in die Zahlen als zusätzliche Info steckt? Wenn ein negatives Vorzeichen beim Multiplizieren einen Richtungswechsel von 180° veranlasst, dann könnte man doch auch ein Vorzeichen einführen, das Richtungswechsel von 90° veranlasst. Das Produkt zweier Zahlen mit solchen Vorzeichen müsste dann das Vorzeichen -1 ergeben. Nennen wir das 90° Vorzeichen doch einfach mal "i". Das sieht doch nach einer schönen runden Sache aus.

So gibt also i5*i5=-25 und wir haben auch die Zahl gefunden, die zum Quadrat -25 ergibt. Sie hat dann eben das Vorzeichen i. Und es gibt sogar noch eine zweite Lösung (-i5)*(-i5)=-25, wenn wir davon ausgehen, dass "-i" in die Richtung -90° oder 270° zeigt. Und wenn wir schon dabei sind, neue Richtungsinformationen in Zahlen einzubauen, dann können wir ja auch gleich beliebige Richtungen in die Zahl stecken und bezeichnen das Vorzeichen der Richtung \phi gleich korrekt mit e^{i\phi}, ohne auf das Konstrukt mit der Basis "e" einzugehen. Es muss also e^{i\frac{\pi}{2}}=i und \! e^{i\pi}=-1 und e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i und \! e^{i2\pi}=1 und \! e^{ni2\pi}=1 usw. sein. Die verschiedenen Richtungen lassen sich auch als Komponenten der Zahl in zwei Basisrichtungen mit Hilfe des Betrags |z| der gerichteten Zahl |z|e^{i\phi} und dem Sinus und Kosinus über
 |z|e^{i\phi}=|z|\cos{\phi}+i|z|\sin{\phi}
ausdrücken, woraus die bekannte Identität e^{i\phi}=cos{\phi}+isin{\phi} folgt. Die Komponente der Zahl in Richtung \phi/2, die mit dem Vorzeichen "i" symbolsiert wird, heißt dann Imaginärteil der Zahl und die Komponente in der Richtung \phi=0 Realteil.

Nun können wir auch drei Zahlen finden, die zu dritten Potenz -1 ergeben, die liegen auf einem gleichschenkligen Dreieck mit einer Spitze bei 180°, das wären die Winkel 60°, 180° und -60° oder 300° und oder einfach e^{i\frac{\pi}{3}},e^{i\pi},e^{i\frac{5\pi}{3}} , die alle multipliziert mit drei wieder -180° oder -1 ergeben. Nun, da alles rund und komplett zu sein scheint, können wir wieder mit der Quantenmechanik fortfahren und diese herrlichen gerichteten Zahlen benutzen.

Eigenwerte und Eigenzustände des Verschiebungsoperators

Hört sich ziemlich kompliziert an. Mal sehen, wie weit wir kommen. Das Problem, Eigenvektoren zu dem Verschiebungsoperator zu finden, gehen wir jetzt mit komplexen Zahlen als Komponenten des Zustandsvektors an. Einen solchen Vektorraum nennt man auch einen unitären Vektorraum und darum heißt der Symmetrieoperator U, der das Skalarprodukt invariant lässt, auch unitärer Operator.

Ein Eigenvektor des Verschiebungsoperators U zum Eigenwert u' mit den Komponenten (c_1,c_2,...,c_n) bezogen auf die Basis aus Winkelmesswerten muss die Gleichung
U \vert u' \rangle = U (c_1 \vert \phi_1 \rangle+ c_2 \vert \phi_2 \rangle + ... + c_n \vert \phi_n \rangle) = u' (c_1 \vert \phi_1 \rangle+ c_2 \vert \phi_2 \rangle + ... + c_n \vert \phi_n \rangle)
und damit
 c_1 \vert \phi_2 \rangle+ c_2 \vert \phi_3 \rangle + ... + c_{n-1} \vert \phi_n \rangle+c_n \vert \phi_1 \rangle  = u' (c_1 \vert \phi_1 \rangle+ c_2 \vert \phi_2 \rangle + ... + c_n \vert \phi_n \rangle)
erfüllen. Die Komponenten der Basisvektoren müssen gleich sein und damit die Gleichung
\! c_n=u'c_1,c_1=u'c_2,c_2=u'c_3,...,c_{n-1}=u'c_n
erfüllen, oder anders ausgedrückt muss sich die nachfolgende Komponente von der vorherigen mit
\! c_1=u'^{-1}c_n,c_2=u'^{-1}c_1,c_3=u'^{-1}c_2,...,c_n=u'^{-1}c_{n-1}

um die jeweils gleiche Richtung u'^{-1} unterscheiden.

Für den Eigenwert u'=u_n=1 ergeben sich mit c_1=c_2=...=c_n gleiche Komponenten für einen zugehörigen Eigenvektor. Normiert schreibt er sich
 \vert u_n \rangle = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n{\vert \phi_k \rangle}.
Multipliziert man die Eigenvektorgleichung mit einer beliebigen Phase, die in alle Komponenten der Eigenvektoren gleichermaßen eingeht, so ändern sich der Eigenwert und die Normierung der Eigenvektoren nicht. Die Eigenvektoren sind also hinsichtlich einer für alle Komponenten gleichen Phasenverschiebung unbestimmt.


Für den Eigenwert u'=u_1=e^{+i2\pi\cdot 1/n} müssen die aufeinanderfolgenden Komponenten des zugehörigen Eigenvektors sich um u'^{-1}=e^{-i2\pi\cdot 1/n} unterscheiden. Setzt man die Phase der n-ten Komponente gleich Null, dann ist
 \vert u_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n{e^{-i2\pi\cdot k/n}} \vert \phi_k \rangle
Die Komponenten rotieren also mit fortlaufendem Index k=1,...,n einmal im Kreis.


Für den l-ten der n Eigenwerte u'=u_l=e^{+i2\pi\cdot l/n} müssen die aufeinanderfolgenden Komponenten des zugehörigen Eigenvektors sich um u'^{-1}=e^{-i2\pi\cdot l/n} unterscheiden. Damit ist entsprechend

 \vert u_l \rangle = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n{e^{-i2\pi\cdot kl/n}} \vert \phi_k \rangle.

Die Komponenten des l-ten Eigenvektors rotieren mit fortlaufendem Index k=1,...,n offensichtlich l mal im Kreis.

In der Reihenfolge ihrer Indizes stellen die Komponenten der verschiedenen Eigenvektoren mit ihrem Real- oder ihrem Imaginärteil Wellen mit verschiedenen Wellenlängen dar - und damit kommen wir dem Geheimnis der komplexen Wellenfunktionen schon viel näher. Man sieht - die Wellen ergeben sich hier, weil Gebrauch von komplexen Zahlen gemacht wird. Die Aufeinanderfolge von Zahlen mit verschiedenen Richtungen - entstanden durch den Gebrauch der komplexen Wurzeln der Eins - ermöglicht die Darstellung einer Periode und entspricht den Komponenten einer komplexen Welle.

Messoperatoren zu den verschiedenen Eigenzuständen

Falls das System in einem dieser Eigenzustände des Symmetrieoperators der Verschiebung ist, die jetzt in der Basis der Winkeleigenvektoren dargestellt sind, enstpricht die Wahrscheinlichkeit, einen der Winkelbasiswerte zu messen, dem Betragsquadrat der Komponente, also 1/n (Nur wenn wir einen hermiteschen Operator haben!). Die Eigenzustände sind also bezüglich der möglichen Messungen das Winkels völlig unbestimmt bzw. statistisch gleichverteilt. Nun hat der Symmetrieoperator U aber alle n verschiedenen Eigenzustände als Eigenzustände, und es ist wünschenswert, die Operatoren zu finden, die jeweils nur einen der n verschiedenen Eigenzustände als Eigenzustand haben. Diese Operatoren lassen sich aus einer Linearkombination der Symmetrieoperatoren
\! E,U,U^2,U^3, ..., U^{n-1}
konstruieren. Wir gehen nun daran, den "Komplemetärraum" aufzuspannen. Wir können ja mal die einfache Summe dieser Operatoren testen und vermuten, dass sie den Eigenzustand zum Eigenwert 1 als Eigenzustand hat. Bei diesem Eigenzustand sind alle Komponenten gleich und es ergibt sich nach sukzessiver Anwendnung aller Operatorenpotenzen
(1+U+U^2+...+U^{n-1})(\vert \phi_1 \rangle+ \vert \phi_2 \rangle + ... + \vert \phi_n \rangle)=n(\vert \phi_1 \rangle+ \vert \phi_2 \rangle + ... + \vert \phi_n \rangle),

da jede der Operatorenpotenzen die Basisvektoren zyklisch verschiebt und damit jeweils den Eigenvektor mit seinen n gleichen Komponenten reproduziert.

Nun nehmen wir den l-ten Eigenzustand und erhalten analog zur vorherigen Vorgehensweise mit der spezifischen Linearkombination der n Operatorenpotenzen
\sum_{k=1}^n{(e^{-i2\pi \cdot l/n}U)^k}\vert u_l \rangle = \sum_{k=1}^n{e^{-i2\pi \cdot kl/n}U^k}\vert u_l \rangle =n \vert u_l \rangle,
da
 U^k \vert u_l \rangle =(e^{+i2\pi \cdot l/n})^k \vert u_l \rangle.

Zusammengefasst bildet der Operator

\vert u_l \rangle \langle u_l \vert = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{(e^{-i2\pi \cdot l/n}U)^k}

den Eigenvektor \vert u_l \rangle auf sich selbst ab und ist hermitesch, da ...

Komplemetäre Operatoren

Adjungiert man die Eigenzustände des Symmetrieoperators, die mit Hilfe der Ket Basisvektoren der möglichen Winkelmesswerte als Ket Vektoren geschrieben wurden, so ergeben sich die entsprechenden Bra Eigenzustände mit Hilfe der Bra Basisvektoren als

 \langle u_l \vert = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n{e^{+i2\pi\cdot kl/n}} \langle \phi_k \vert.

Definiert man nun einen weiteren unitären Symmetrieoperator V, der diese Bra Eigenzustände des Symmetrieoperators verschiebt, über

 \langle u_l \vert V = \langle u_{l+1} \vert,

so ergeben sich analog zu dem vorherigen Vorgehen für diesen "komplementären" Symmetrieoperator V, der im Bra-Raum der Eigenzustände des Symmetrieoperators operiert, die Eigenzustände

 \langle v_l \vert = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n{e^{-i2\pi\cdot kl/n}} \langle u_k \vert

zu den verschiedenen Eigenwerten. Deren adjungierte Zustände

 \vert v_l \rangle = \frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n{e^{+i2\pi\cdot kl/n}} \vert u_k \rangle = ...= \vert \phi_l \rangle
sind die ursprünglichen Basisvektoren der Winkelmesswerte. Damit haben wir die reziproke Definition zweier unitärer Operatoren
 \langle u_l \vert V = \langle u_{l+1} \vert, U \vert v_k \rangle = \vert v_{k+1} \rangle,

die ein jeder die Eigenzustände des anderen Operators verschieben.

Konstruktion der Messoperatoren aus den unitären Verschiebunsgoperatoren - Unitary Operator Basis

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