Das Funktionenmikroskop

Möchte man im Mathematikunterricht im Bereich der Differentialrechnung den zentralen Begriff der Ableitung einführen, so geht man meist den Weg vom Differenzenquotienten (der mittleren Änderungsrate) zum Differentialquotienten (der lokalen Änderungsrate). Mithilfe des Funktionenmikroskops ergibt sich jedoch noch ein weiterer Zugang, der auf die (lokale) Linearisierung einer Funktionen hinspielt:

Eine in einem Punkt differenzierbare Funktion lässt sich in einer Umgebung dieses Punktes durch eine lineare Funktion approximieren.

Kurzbeschreibung einer möglichen Unterrichtseinheit

Zunächst dient das Funktionenmikroskop den Schülern als Einstieg, die lokale Näherung durch lineare Funktionen graphisch und tabellarisch zu erkunden.

Anschließend kann der Begriff der "Tangente" geklärt und deren Eigenschaften untersucht werden. Nun sollte unter dem Gesichtspunkt der (lokalen) Approximierbarkeit der Differenzen- und Differentialquotient genauer bearbeitet, die Tangentensteigung berechnet und anschließend die Ableitungsfunktion gebildet werden. Mögliche Erweiterungen wären dann Beweise der Ableitungsregel, Eingehen auf die Stetigkeit und Anknüpfen an Aspekte wie: Änderungsraten, Näherungen oder Taylor-Entwicklung.

Aufgabenstellung

Aufgabe Betrachten Sie die Funktion $f(x)=x^2$ und untersuchen Sie die Umgebung des Punktes $P(2/f(2))$ Vergrößern Sie dazu mehrfach das zu betrachtende Gebiet. Was stellen Sie fest? Zeichnen Sie eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen, welche nah an $P(2/f(2))$ liegen. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Gerade. Versuchen Sie aus der erhaltenen Gerade eine weitere zu entwickeln, die nur durch den gegebenen Punkt $P(2/f(2))$ verläuft. Welche Eigenschaft hat die neue Gerade? Ist dies die einzige Gerade durch $P(2/f(2))$ mit diesen Eigenschaften? Sei D1 der Unterschied von $f(2)$ zum Funktionswert der Näherungsgeraden an der Stelle x+h. D2 sei der Unterschied vom Funktionswert der Näherungsgerade zum Funktionswert von f an der Stelle $x=2+h$, bezeichnet mit $r(h)$ (Rest) Untersuchen die Abhängigkeit der Reste D1 und $r(h)$ von dem freien Parameter h. Was stellen Sie fest? Wie verhält es sich für den Fall h $\rightarrow$ 0 ?(Tabellenkalkulation hilfreich) Betrachten Sie nun den "relativen Rest", also $\frac{r(h)}{h}$. Variieren Sie auch hier den Parameter h. Für welche Bedingung ist die Näherungsgerade optimal?

Lösungsskizze

In der Anwendung "Graphs & Geometry" wird die gewählte Funktion eingefügt. Betrachtet man die Funktion in einem geeigneten Umfeld des Punktes $P(2/f(2))$, so fällt auf, dass die Funktion in dieser Umgebung nahezu linear verläuft

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Gesucht ist daher eine Gerade, die zunächst durch zwei Punkte in naher Umgebung zu $P(2/f(2))$ verläuft. Aus dieser wird nun durch Verschieben eine "Tangente" durch den Punkt $P(2/f(2))$, deren Steigung und y-Achsenabschnitt wir mithilfe der Funktion "Messen" darstellen lassen können, um somit die Tangentengleichung zu erhalten.

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Rechnerisch erhalten wir diese durch die Betrachtung eines Geradenbüschels $y=m*x+4-2*m$ durch den Punkt $P(2/f(2))$ und dessen Schnittpunkt mit der Funktion $f(x)=x^2$. Der Ansatz $x^2=m*x+4-2*m$ und die Betrachtung der Determinante $m^2+16-8*m$ führen auf m=4 und auf die "Tangenten"-Gleichung $y=4*x-4$ Die gefundene Gerade hat mit dem Funktionsgraph nur einen Schnittpunkt, jedoch reicht diese Eigenschaft nicht um sie als Tangente zu bezeichnen. Denn auch die Gerade x=2 schneidet den Funktionsgraph nur an einer Stelle und ist keineswegs eine Tangente. Somit muss nun noch die Näherungseigenschaft der Gerade verifiziert werden.

Dazu untersuchen wir die in der Aufgabenstellung angegebenen Abstände D1 und r(h) in Abhängigkeit von h. Um auf unsere "Tangente" als ideale Näherungsgerade zu schließen, wiederholen wir dieses bei verschiedenen Geraden, die wir durch Verschieben der Punkte erhalten. Über den Datenerfassungsmodus in "Lists &Spreadsheet" lassen sich die zuvor definierten Variablen D1, D2=r(h) und h automatisch anzeigen.

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Hierbei sollte festgestellt werden, dass der Fehler r(h) der Näherungsgerade für h schneller gegen 0 geht, je mehr sie der Tangente ähnelt.

Betrachtet man nun den relativen Fehler $\frac{r(h)}{h}$, so ist zu erwarten, dass die optimale Näherungseigenschaft und damit die Tangente im eigentlichen Sinne vorliegt, wenn der relative Fehler für h gegen 0 verschwindet. Diese Erkenntnis lässt sich auch durch die sonst übliche rechnerische Herangehensweise gewinnen:

Für die von uns betrachtete Funktion $f(x)=x^2$ gilt mit $x=2+h$: $f(2+h)=(h+2)^2=4+4h+h^2$

Ein Vergleich mit der Form $f(2+h)=f(2)+L*h+r(h)$ zeigt $r(h)=h^2$ und der Grenzwert für h gegen 0 von $\frac{r(h)}{h}$ geht gegen Null.

Betrachtet man nun beispielsweise die Gerade $y=x+2$, die ebenfalls durch den Punkt $P(2/4)$ verläuft, so fällt auf, dass der Rest zwar wie vorher gegen Null geht, der relative Fehler jedoch gegen 3 konvergiert.

Allgemeiner lässt sich anhand des Geradenbüschels $y=m*x+4-2*m$ zeigen, dass sich für den relativen Fehler $\frac{r(h)}{h}=4-m+h$ ergibt, welcher also nur für m=4 gegen Null konvergiert (für h gegen 0).

Und eben diese Steigung haben wir ja auch zuvor für unsere Tangente erhalten. Somit ist ist die beste Näherungsgerade, sprich die Tangenten, diejenige Gerade durch den Punkt P, deren relativer Rest mit h gegen 0 geht. Mit diesen Erkenntnissen kann man dann eine allgemeine Definition formulieren:

Merke: Eine Funktion f heißt lokal linear approximierbar bei $x=x_0$, wenn man $f(x_0+h)$ in folgender Form darstellen kann: $f(x_0+h)=f(x_0)+L*h+r(h)$, wobei $lim\frac{r(h)}{h}=0$ für h gegen 0. L ist dann die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle $x=x_0$

An dieser Stelle wäre es dann sinnvoll, die Sprechweise „differenzierbar an der Stelle $x_0$“ einzuführen. Des weiteren ist nur der Schritt zum Differenzen- und Differentialquotient ein leichtes. Um die Tangentensteigung zu erhalten ist gerade derjenigen Term der Differenz $f(x+h)-f(x)$ von Interesse, der nur linear von h abhängig ist. Daher lässt sich schnell auf die bekannte Formel

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{r(h)}{h}$

folgern. Dies entspricht gerade dem Differenzenquotienten, der Grenzwert für h gegen 0 entspricht dem Differentialquotienten.

Situation im Lehrplan

In der Jahrgangsstufe 11 werden im Bereich der Differentialrechnung folgende Themen behandelt

• Mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Steigung, Sekante, Differenzenquotienten
• Momentane Änderungsrate, lokale Steigung, Tangente, Grenzprozess des Differentialquotienten
• Ableitung und Ableitungsfunktion, Tangentengleichung
• Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
• Untersuchung ganzrationaler Funktion bzgl. Nullstellen, Symmetrie, Steigungsverhalten/Hoch- und Tiefpunkte, Krümmungsverhalten/Wendepunkte.

Didaktischer Kommentar

Da die Einführung der Ableitung rein algebraisch mit Hilfe des Differentialquotients oftmals sehr trocken und uninteressant ist, bietet die Möglichkeit der visuellen Herangehensweise einen deutlichen Vorteil. Über den graphischen Weg erhalten die SuS sehr schnell eine Vorstellung, wie man sich die lokale Linearisierung eines Funktionsgraphen zu Nutzen machen kann und was die Tangente an einem beliebigen Punkt des Graphen bedeutet. Die SuS können in dieser Arbeitsphase sehr gut in Gruppen gemeinsam zu den gewünschten Ergebnissen gelangen und benötigen weniger das Leiten und Eingreifen des Lehrers. Dabei lernen die SuS mathematische Sachverhalte einander zu erklären und dadurch gemeinsam das Lernziel zu erreichen. Aufgrund der benutzten technischen Werkzeuge lässt sich leicht die Aufgabenstellung verändern (die Ausgangsfunktion und den gegebenen Punkt des Graphen) und bietet dadurch eine gute Reproduzierbarkeit.

Ein wichtiger Aspekt in der graphischen Herangehensweise ist außerdem, dass sich durch die Visualisierung ein leichteres Verständnis des Differentialquotienten ergibt.

Des Weiteren ermöglicht es den Schülern spätere Begriffe wie Stetigkeit oder Änderungsrate schneller zu begreifen und auf die Linearisierung durch das Funktionenmikroskop zurückzuführen.