Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit

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Inhaltsverzeichnis

Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit

Aufgabe 1.0: Philosophie der Bewegungen

Die Welt ist voll von Bewegungen.

Etwas überspitzt könnte man behaupten: “Alles ist in Bewegung”. (1)

Wirklich? Es gibt auch viel, das für die Antithese spricht: “Nichts ist in Bewegung.” (2)

Finden Sie je 2 Argumente für Behauptung (1) und (2)!


Physiker geben sich nicht mit philosophischen Überlegungen zufrieden, auch wenn sich die Physik einst aus der Philosophie heraus entwickelt hat.
Sie wollen Bewegung definieren und messen.

Definition

Bewegung bedeutet Ortsveränderung eines Objektes im Verlauf der Zeit.

Erläuterung: Wir brauchen also zwei so genannte Dimensionen, um Bewegung festzustellen: Raum und Zeit. Bei einer Bewegung ändert sich der Ort des Objekts im Raum, während sich auch die Zeit ändert.

Aufgrund dieser Definition ist das Messen von Bewegungen möglich. Hier ein Beispiel für das messtechnische Erfassen einer Bewegung. Zunächst beschäftigen wir uns mit dem einfachsten Bewegungstyp, der geradlinig-gleichförmigen Bewegung. Gleichförmig bedeutet, dass die Geschwindigkeit gleich bleibt.

Versuch 1.1: Nadelstreifen-Versuch.

Mech Ob 1-1.jpg

(1) Magnetspule
(2) Anker aus ferromagnetischem Metall
(3) Versuchswagen
(4) Schiefe Ebene
(5) Teststreifen
(6) Permanent-Magnet als Auflage

Wir verwenden eine Apparatur, die in der Lage ist, mit einer Nadel in regelmäßigem Abstand Tupfer auf einen Teststreifen zu setzten. Ein Elektromagnet wird dazu mit einer Wechselspannung von 6 V betrieben. Dies bewirkt, dass der ferromagnetische Anker mit einer Frequenz von 50 Hz (Herz) umgepolt wird, und damit fünfzig mal in der Sekunde von dem Permanetmagneten, der als Auflage dient, angezogen wird. Rollt der Versuchswagen mit konstanter Geschwindigkeit die Schiefe Ebene hinab, werden also auf den Teststreifen 50 Nadelstiche pro Sekunde gesetzt. (Anmerkung: Die Reibung verhindert, dass der Wagen auf der Schiefen Ebene schneller wird.)

Messergebnis: Wir erhalten als Spur eine Reihe von Punkten: Spur (A).

Mech Ob 1-2.jpg

Anschließend wird der Versuch erneut ausgeführt, allerdings mit einer anderen Geschwindigkeit: Spur (B) .

Mech Ob 1-3.jpg

Aufgabe 1.1: Auswertung

Werten Sie den Versuch 1.1 aus!
Überlegen Sie dazu:

  • a) Ab welcher Stelle verläuft die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit?
  • b) Wie viel Zeit vergeht zwischen zwei Tupfern, wenn die Nadel mit einer Frequenz von 50 Hz auf den Streifen tupft?
  • c) Ist das Wägelchen im Fall (A) oder (B) schneller?
  • d) Was nehmen wir am besten als Ortsveränderung, wenn wir möglichst genaue Ergebnisse erzielen wollen?
  • e) Berechnen Sie nun die Geschwindigkeit im Fall (A) und (B) !



Um eine Bewegung zu messen, brauchen wir eine

  • Ortskoordinate x und eine
  • Zeitkoordinate t.

Der Ortsunterschied ist dann Delta x:
\Delta x = x2 - x1

(Ortskoordinate am Ende minus Ortskoordinate am Anfang des Zeitintervalls)

Entsprechend das Zeitintervall \Delta t:
\Delta t = t2 - t1

Damit wird die Geschwindigkeit

Definition

 v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
(zurückgelegte Strecke durch dazu benötigte Zeit)

Hinweis: Hier handelt es sich um einen Quotienten aus Differenzen, einen Differenzenqoutienten.

Nehmen wir zwei benachbarte Messpunkte, so erhalten wir die Momentangeschwindigkeit des Wägelchens zum Zeitpunkt t1 bzw. t2, nehmen wir den ersten und den 51. Messpunkt, erhalten wir die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall

\Delta t = t51 - t1

Die Bewegung lässt sich graphisch darstellen in einem Zeit-Orts-Diagramm (t-x-Diagramm):

Konstante Geschwindigkeit


Aufgabe 1.2: Diagramm

Zeichnen Sie je ein Zeit-Ort-Diagramm für Wägelchen A und B ! Wählen Sie die Einheiten geeignet!


Aufgabe 1.3: Schneckenpost

Zwei Schnecken bewegen sich gleichförmig und geradlinig in einem Garten:
die erste Schnecke bewegt sich mit 1 mm/s , die zweite in 2 s um 4 mm .
Nach 2 s bleibt die zweite Schnecke aber plötzlich stehen.
Wenn die erste Schnecke die zweite überholt, verdoppelt sie ihre Geschwindigkeit, während die zweite mit halber Anfangsgeschwindigkeit weiter kriecht.
a) Zeichnen Sie ein gemeinsames x-t-Diagramm !
(1s = 1 cm ; 1 mm = 1 cm)
b) Stellen Sie die Abhängigkeit der Geschwindigkeiten von der Zeit für beide Bewegungen in einem Diagramm dar !
(1 s = 1 cm; 0,5 mm/s = 1 cm.)

Aufgabe 1.4: Fahrstile

Eine Strecke von 300 km soll mit einem Wagen zurückgelegt werden. Berechnen Sie die dazu benötigte Zeit, wenn

  • a) die Geschwindigkeit immer 75 km/h beträgt,
  • b) eine Hälfte des Weges mit 50 km/h, die andere mit 100 km/h zurückgelegt wird,
  • c) die halbe Fahrzeit mit 50 km/h , die andere mit 100 km/h gefahren wird. (Lösung z.B. durch Erraten und anschließende grafische oder rechnerische Überprüfung!)
  • d) ein Drittel der Fahrzeit mit 66 km/h, zwei Drittel mit 87 km/h zurückgelegt wird!(Hinweis: Kreative Aufgabenlösung vonnöten: entweder algebraisch über das Lösen von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, oder graphisch mit rechnerischer Überprüfung der Lösung!)

Zeichnen Sie zu jeder Teilaufgabe auch ein Zeit-Ort-Diagramm! (100 km = 5 cm, 1 h = 4 cm)


Interpretation von Zeit-Orts-Diagrammen

Aufgabe 1.5: Radltour

Desiree und Marc radeln zum Plansee. Sie fahren um 7.00 Uhr los und kommen um 19.00 wieder zuhause an.

Entlang der Straße sind Kilometersteine. Jede volle Stunde notieren sie ihre Position x .


Zeit-Orts_Diagramm

Rechtswertachse: Uhrzeit in Stunden, Hochwertachse: Ortskoordinate in km

  • a) Berechnen Sie für jedes Zeitintervall von 1 Stunde die durchschnittliche Geschwindigkeit! Benutzen Sie Berechnungsformeln!
  • b) Beschreiben Sie für jedes Zeitintervall den Verlauf der Bewegung in Worten! Mögliche Interpretation?
  • c) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit für die ersten 4 Stunden! Wie lässt sich diese graphisch darstellen?



1. Bewegungsgleichung

Wir leiten eine allgemeine Gleichung für geradlinig-gleichförmige Bewegungen her:

aus

v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{\Delta t}

folgt

x = x0 + v\Delta t

Damit lässt sich z.B. bei bekanntem Anfangsort x und bekannter Geschwindigkeit v die aktuelle Position am Ende eines Zeitintervalls berechnen.

Nehmen wir für x0 den Ort x(0) zur Zeit t = 0, so ergibt sich die

1. Bewegungsgleichung:

x(t)= x0 + v t

Hierbei handelt es sich um eine lineare Gleichung. In der Mathematik schreiben wir immer

y(x) = t + mx

Dabei ist x die unabhängige, y die abhängige Variable. t ist der sog. y-Achsenabschnitt, m der Steigungsfaktor ("Steigung").

In der Bewegungsgleichung ist die unabhängige Variable die Zeit t, der Ort x hängt von ihr ab. Die Geschwindigkeit v ist die Steigung der Zeit-Ort-Geraden.

Aufgabe 1.6: Wettflug

Ein Bussard fliegt mit einem Falken um die Wette. Der Bussard bekommt 14 km Vorsprung vom Startpunkt aus gemessen, weil er mit 95 km/h deutlich langsamer ist als der Falke (153 km/h).

  • a) Wann und wo holt der Falke den Bussard ein?
  • b) Wer gewinnt den Wettflug bis zum Gipfelkreuz des Hörnle (40 km vom Start entfernt)?
  • c) Zeichnen Sie ein geeignetes Zeit-Ort-Diagramm!



Guter Stil beim Rechnen

Beachten Sie bei Rechenaufgaben den “guten Stil”:

  • 1. Bereitstellen der relevanten Formeln
  • 2. Ansatz
  • 3. Auflösen nach der/den Unbekannten
  • 4. Einsetzen der Zahlen
  • 5. Ausrechnen
  • 6. Runden (auf die geringste Genauigkeit der gegebenen Größen, +/- eine Stelle)

Für fehlende Schritte müssen in Prüfungen leider Punkte abgezogen werden!


Aufgabe 1.7: Hürdensprung

Diana springt mit ihrem Pferd über ein Hindernis und ihr Trainer nimmt die Bewegungsdaten mit einem Lasermessgerät auf. Die Daten werden auf einem Computer­bildschirm, etwas idealisiert, als t-v-Diagramm und t-x-Diagramm dargestellt. Mit Hilfe dieser Diagramme können Trainer und Reiterin die Bewegung analysieren.

Zuerst galoppiert Helena auf ihrem Pferd mit konstanter Geschwindigkeit auf das Hindernis zu (1), bis das Pferd plötzlich scheut und rückwärts geht (2). Helena hält es an (3), setzt noch einmal an und steigert die Geschwindigkeit. Bei 40 s springt das Pferd (6) und nach der Landung kommt es wieder zum Stehen (7).

Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

Rechtswertachse: Zeit in s, Hochwertachse: Geschwindigkeit des Pferdes in m/s

  • a) Berechnen Sie die Position x des Pferdes im Verlauf der Zeit t! Benützen Sie dazu geeignete Berechnungsformeln! (Formel, Umformen, Einsetzen, Ausrechnen, auf die Einheiten achten!)
  • b) Zeichnen Sie das Zeit-Orts-Diagramm des Pferdes!

(Hinweis: An der Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen lässt sich wegen \Delta x = v\Delta t auch leicht der zurückgelegte Weg direkt ablesen!)



Aufgabe 1.8: Messprotokoll

Ein Fahrzeug bewegt sich auf geradliniger Bahn. Man erhält folgende Messreihe :
t in s..............4,2.....7,5......9,0.......12,7........14,0
x in m...........12,0....74,1...93,6.....152,4......178,6

  • a) Zeichnen Sie das zugehörige t-x-Diagramm ! (1 s = 1 cm ; 1 m = 1 mm)
  • b) Gehen Sie davon aus, dass es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt. Bestimmen Sie ihre Geschwindigkeit! (Tipp: Was wissen wir über den Ort des Fahrzeugs zur Zeit t = 0 ?)



Aufgabe 1.9: Rückwärtsgang

Berechnen Sie aus dem in der untenstehenden Abbildung wiedergegebenen t-x-Diagramm einer idealen Bewegung, die wir uns beliebig lange fortgesetzt denken können,

  • a) die Fahrzeuggeschwindigkeit,
  • b) die Koordinate x1 des Ortes, den das Fahrzeug zur Zeit t1 = 2 min 53 s hat,
  • c) die Zeit t2, zu der es am Ort mit der Koordinate x2 = - 6,2 km ist!

Es gilt: Start bei 168 m , x = 0 nach 12,5 s .

Zeit-Orts-Diagramm

Rechtwertachse: Zeit in s , Hochwertachse: Ortskoordinate in m .


<popupname="Tipp">Beachten Sie: Die Bewegung verläuft in -x - Richtung, d. h. v ist negativ!

Benutzen Sie die 1. Bewegungsgleichung!</popup>



Aufgabe 1.10: Eingeholt!

Ein LKW fährt auf einer geraden Straße mit der konstanten Geschwindigkeit v1 = 45 m/s von dem Ort mit der Koordinate 47,7 km ab. Ein PKW fährt 70 s später ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit von dem Ort mit der Koordinate 15,2 km ab ; beide fahren in Richtung wachsender Ortskoordinaten. Der PKW holt den LKW 1 h 20 min nach dem Start des PKW ein.

  • a) Fertigen Sie ein qualitatives t-x-Diagramm!
  • b) Welche Geschwindigkeit v2 hat der PKW?
  • c) Welche Strecken haben beide Fahrzeuge bis zum Treffen zurückgelegt ?

Beachten Sie den „guten Stil“!

Aufgabe 1.11: Geblitzt! (1. Stegreifaufgabe)

Gruppe A:

Die Bewegung eines Autos wird von einem “Radargerät“ erfasst, das mit Ultraschall arbeitet.
Dazu wird zum Zeitpunkt t1 = 0,65 s ein Schallimpuls ausgesandt, der nach der Reflexion am Auto zu Zeit t2 = 0,95 s wieder am Gerät eintrifft. Dieses befindet sich am Ort x = 0 .
Ein zweiter Impuls wird zur Zeit t3 = 3,80 s ausgesandt und kommt zur Zeit t4 = 4,80 s zurück. Die Geschwindigkeit v des Autos bleibt dabei die ganze Zeit konstant.

a) Zeichnen Sie ein qualitatives t-x-Diagramm des Vorgangs! (Keine Zahlenwerte!)
Tragen Sie dazu die Zeit-Orts-Linien der Schallimpulse sowie des Autos ein!

b) Berechnen Sie aus den gegebenen Werten und der Schallgeschwindigkeit vs = 340 m/s die Geschwindigkeit v des Autos in km/h !

c) Ermitteln Sie zeichnerisch oder rechnerisch die Position des Autos zur Zeit t = 0  !

Gruppe B:

Die Bewegung eines Autos wird von einem “Radargerät“ erfasst, das mit Ultraschall arbeitet.
Dazu wird zum Zeitpunkt t1 = 1,80 s ein Schallimpuls ausgesandt, der nach der Reflexion am Auto zu Zeit t2 = 2,80 s wieder am Gerät eintrifft. Dieses befindet sich am Ort x = 0 .
Ein zweiter Impuls wird zur Zeit t3 = 4,65 s ausgesandt und kommt zur Zeit t4 = 4,95 s zurück. Die Geschwindigkeit v des Autos bleibt dabei die ganze Zeit konstant.