Spannenergie

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Spannenergie

Durch die Verformung von elastischen Materialien lässt sich Energie speichern: Es wird so genannte Spannarbeit aufgebracht um die Verformung zu bewirken, und bei der Entspannung wird sie wieder frei. Betrachten wir das Beispiel einer elastischen Schraubenfeder:
Um sie aus dem entspannten Zustand um eine Strecke s zu dehnen, ist die Zugkraft F erforderlich. Allerdings nicht für die gesamte Dehnungsstrecke, da sich die Feder zunächst leichter dehnen lässt, dann schwerer. Genau genommen wächst die Dehnkraft F mit der bereits erfolgten Dehnung proportional an, d. h. Es gilt

F = D s

mit der Federkonstanten (Federhärte) D .

Diese Beziehung heißt auch Hookesches Gesetz und gilt für alle elastischen Materialien bei hinreichend kleiner Verformung.

Berechnungsbeispiel: Die Kraft F = 10 N dehnt eine Feder um 10 cm aus dem entspannten Zustand. Dann gilt D = F/s = 10N / 0,10 m = 100 N/m .
Um die Feder um einen Meter zu dehnen ist also die Kraft 100 N erforderlich. Die Länge der Feder spielt dabei übrigens keine Rolle.

Nun fragen wir nach der Arbeit, die aufgebracht werden muss, um die Feder um die Strecke s aus der Entspannung zu dehnen. Da die Arbeit als
W = F s
definiert ist, vermuten wir zunächst, dass wir lediglich die Dehnung s mit der Dehnkraft F multiplizieren müssen. Dies ist jedoch offensichtlich falsch, da die Dehnkraft erst am Schluss ihren maximalen Wert erreicht und somit die berechnete Arbeit zu groß wäre.

Wir führen uns zunächst das Hookesche Gesetz grafisch vor Augen: Eine Ursprungsgerade.

Im Analogschluss zur Ermittlung des Weges aus der Fläche unter dem t-v-Diagramm (denn Zeit mal Geschwindigkeit gibt Weg) bekommen wir hier die gesuchte Arbeit als Fläche unter dem s-F-Grafen. Diese lässt sich als Dreiecksfläche berechnen:

Spannarbeit W Sp = ½ Grundlinie mal Höhe = ½ s D s = ½ D s2 .

Die Spannarbeit ist quadratisch abhängig von der Dehnungsstrecke s , d. h. doppelte Dehnung erfordert vierfache Spannarbeit. Diese liegt nun gespeichert als Spannenenergie

ESp = ½ D s 2 

vor.

Aufgabe 4.3: Spann die Feder!

Eine zunächst entspannte Stahlfeder wird durch eine Kraft von 50 N um 80 cm gedehnt.

  • a) Welche Spannarbeit ist dazu erforderlich?
  • b) Welche zusätzliche Spannarbeit muss an der Feder verrichtet werden um sie weitere 50 cm auszudehnen?
  • c) Welche Spannenergie steckt nun in der Feder?