Newtonsches Gravitationsgesetz

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Nach einer Legende saß Sir Isaac Newton an einem lauen Sommerabend in seinem Garten und beobachtete die aufgehende Möndin. Dabei fiel ein Apfel vom Ast. Er überlegte sich daraufhin, wieso denn der Mond nicht herunter fiele. Was meinen Sie?

Antwort: Die Möndin läuft auf einer Kreisbahn um die Erde. Die Zentralkraft ist die Gravitationskraft. Ohne sie würde sie sich geradlinig bewegen.

Newton stellt sich vor, den Apfel waagrecht von einem Berg herunter zu werfen, immer stärker, bis er schließlich um die Erde herum fällt.

Aber wie stark ist die Gravitation in Höhe des Monds, 60 Erdradien vom Mittelpunkt der Erde entfernt?

Für den Apfel gilt:

FG = m g

mit g = 9,81 N/kg .

Für den Mond gilt:

FGrav = m a

wobei a die Fallbeschleunigung dort oben ist.

Newton berechnet a aus dem Zentralkraftgesetz:

a =  \omega^2  r.

Mit den bekannten Daten

r = 60 Erdradien = 384 000 km

und der siderischen Umlaufzeit

T = 27,3 d

ergibt sich

a = 2,72 10-3 m/s2

Inhaltsverzeichnis

Vergleich von a mit g

Newton sucht nach einem Gesetz, wie a von der Entfernung vom Erdmittelpunkt abhängt.

Mit dem Erdradius R gilt:

\frac{a}{g} = \frac{1}{3606} = \frac{1}{3600} = \frac{R^2}{(60 R)^2}

d. h. die Fallbeschleunigungen verhalten sich umgekehrt proportional zu den Quadraten der Abstände!

Symmetrie in den Massen

Newton erkennt als erster, dass die Graviationskraft von den Massen der Partner verursacht wird. Aus Symmetriegründen muss sie proportional zu den beiden Einzelmassen m1 und m2 sein.

Führt er noch eine Proportionalitätskonstante G* ein, die die Übereinstimmung mit dem Einheitensystem herstellt, so lautet das

Gravitationsgesetz

F_G = G^*\frac{m_1 m_2}{r^2}

Bestimmung der Gravitationskonstanten G*

G* lässt sich mit einer sog. Gravitationsdrehwaage direkt messen (die beteiligten Massen werden möglichst nahe zusammen gebracht):

G* = 6,67 N m2/kg2

Aufgabe 5.12: Hingezogen

Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen den Partnern eines Liebespaars von 47 und 60 kg Masse, deren Schwerpunkte 50 cm entfernt sind!


Aufgabe 5.13: Himmlische Bindungen

  • a) Berechnen Sie die Kraft, mit der sich Erde und Mond anziehen!
  • b) Welche Auswirkung hat folglich die Anziehung des Mondes auf die Bahn der Erde?


Aufgabe 5.14: Astronomische Massenbestimmung

Aus den Umlaufdaten eines Himmelskörpers um sein Zentralgestirn lässt sich auf die Masse des Zentralgestirns schließen.

  • a) Die Umlaufzeit des Jupitermondes Io beträgt 42,5 h , sein Bahndurchmesser 8,43 105 km . Berechnen Sie daraus die Masse des Jupiters!
  • b) Ermitteln Sie die Dichte des Jupiters, wenn sein Radius das 11,2-fache des Erdradius beträgt!
  • c) Berechnen Sie die Dichte der Erde und vergleichen Sie die Stoffe, aus denen Erde und Jupiter bestehen!
  • d) Geben Sie eine kosmologische Begründung für c) !


Aufgabe 5.15: Satellitenbahnen

In einer Höhe von 200 km , 32000 km und 64000 km über der Erdoberfläche befindet sich je ein fiktiver Beobachter.

  • a) Berechnen Sie die Fallbeschleunigung an diesen Orten!
  • b) Berechnen die Kreisbahngeschwindigkeit von Satelliten in diesen Höhen!
  • c) Wie groß sind die zugehörigen Umlaufzeiten?
  • d) Erklären Sie mit diesen Daten den Unfall der Challenger-Raumfähre.
  • e) Ein Wettersatellit soll die Erde pro Tag 8 mal umkreisen. Ermitteln Sie seine Flughöhe über dem Erdboden!


Aufgabe 5.16: Kanonenfutter

In seinem berühmten Roman "Von der Erde zum Mond" von 1865 beschreibt Jules Verne, wie eine bemannte Raumkapsel mit einer Kanone zum Mond geschossen wird.

  • a) Berechnen Sie, welche Abschussgeschwindigkeit das Projektil mindestens erhalten muss!
  • b) Wie lange müsste das Kanonenrohr mindestens sein, wenn die Raumfahrer höchstens der 10-fachen Erdbeschleunigung ausgesetzt werden sollen?
  • c) Nennen Sie einen weiteren Grund, warum das Vorhaben physikalisch unrealistisch ist!