Wer wird Millionär

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"Wer wird Millionär" und Stochastik

Mathematik Lk 2006/2008, Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt, Saskia Vonhausen


Aufgabe 1: Einloggen oder doch lieber nicht?

1. Ein Kandidat bei „Wer wird Millionär“ wurde mit folgender Aufgabe konfrontiert: Stochastik.jpg


Der Kandidat hatte den Namen noch nie gehört. Er meinte jedoch, Antwort A mit Sicherheit ausschließen zu können, da er alle bekannten Fußballspieler kennen würde. Auch Antwort B hielt er für sehr unwahrscheinlich, denn als regelmäßiger Theaterbesucher würde er immerhin 90 % der Komödiendichter kennen. Bei den Archäologen läge diese Quote immerhin noch bei 80 %. Viel weniger kenne er sich jedoch in der Mathematik aus und setzte die Quote bei 20 % an. Der Kandidat hatte sich vorgenommen, nur dann zu antworten, wenn er sich seiner Antwort wenigstens zu 70 % sicher ist.

Wie würde er sich hierbei getreu seinem Vorsatz verhalten?


Lösung zu 1.:

Antwort A = A
Antwort B = B
Antwort C = C
Antwort D = D
S = Der Kandidat ist sich sicher; Er kennt den Namen
\bar S= Der Kandidat ist sich unsicher; Er kennt den Namen nicht

Baeumchen.jpg


Nach dem Satz von Bayes:

P_\bar S(D)\, =\frac{P(\bar S \cap D)}{P(\bar S)}

P_\bar S(D)\, = {{1 \over 4}* 0{,}8\over {1 \over 4}* (0+0{,}1+0{,}2+0{,}8) } = {8\over11 }\approx 0{,}727


Nach der Berechnung ist die Antwort D zu 72,7 % richtig. Da der Kandidat schon bei 70 % einloggen würde, müsste er hier diese Antwort wählen.


Stochastik2.jpg



Aufgabe 2: Wie wahrscheinlich tippe ich bei der Einstiegsfrage richtig?

2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei der Einstiegsfrage von „Wer wird Millionär“ A, B, C und D per Zufall richtig zu ordnen?

Zum Beispiel die Einstiegsfrage vom 7. März 2005 : "Ordnen Sie diese Tänze chronologisch nach ihrer Entstehung!"

A: Boogie-Woogie, B: Cha-Cha-Cha, C: Wiener Walzer, D: Discofox

=>( CABD )



Lösung zu 2:

Es gibt 4 Antworten, die in die EINE richtige Reihenfolge gebracht werden müssen (Urnenmodell: Ziehen ohne zurücklegen; unter Berücksichtigung der Reihenfolge).

Zu Beginn erhalten die Kandidaten 4 Antworten, d.h die Wahrscheinlichkeit für die richtige Antwort liegt bei:

\rightarrow{1 \over 4}

Nach der ersten Wahl bleiben 3 Antworten, d.h die Wahrscheinlichkeit für die richtige Antwort liegt bei:

\rightarrow{1 \over 3}

Dann noch 2 Antworten, d.h. die Wahrscheinlichkeit liegt bei:

\rightarrow{1 \over 2}

Bei der letzten Antwort liegt die Wahrscheinlichkeit bei:

\rightarrow1

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten, d.h.

\Rightarrow{1 \over 4}* {1 \over 3}* {1 \over 2} * 1 = {1 \over 24}


Wenn der Kandidat es dem Zufall überlässt, gibt er zu ungefähr 4 % genau die richtige Reihenfolge an!