Hühnerstall

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Ziel des Beitrags ist es, TI-Nspire-Neueinsteigern anhand einer allgemein bekannten (Standard-)Aufgabe weitere Nutzungskompetenzen im Umgang mit dem TI-Nspire zu vermitteln und gleichzeitig die Möglichkeiten verschiedener Lösungswege (geometrisch, graphisch, tabellarisch, symbolisch) zu zeigen.


Inhaltsverzeichnis

Aufgabe "Hühnerstall"

Stift.gif   Aufgabe

Bauer Dubbelskötter möchte ein Gehege für seine Hühner anlegen. Er sieht eine gute Möglichkeit darin, das Gehege an einer Hauswand zu platzieren. Ihm stehen nur 10 Meter Drahtzaun zur Verfügung und er möchte eine rechteckige Umzäunung haben. Wie sieht in diesem Fall das größtmögliche Gehege aus?


Didaktischer Kommentar

"Da lachen ja die Hühner! Die folgende Aufgabe habe ich ja schon x-mal in der Klasse 9 unterrichtet. Wofür braucht man da neue Technologien? Ein alter Hut und außerdem: Welcher Bauer hat nur 10 m Zaun? Dem sollte man die Hühnerhaltung besser verbieten...


So oder so ähnlich ist häufig der erste Eindruck. Doch dieser Eindruck täuscht! Natürlich ist die Aufgabe recht leicht und für den Experten in Windeseile zu lösen:

l+2\cdot h = 10 m.


Zu bestimmen ist

max(l\cdot h) = max((10-2\cdot h)\cdot h) = 5 \cdot 2,5m^2 = 12,5 m^2.


Dieser scheinbare Nachteil der Trivialität offenbart sich schnell als Vorteil: Lehrerinnen und Lehrer sowie Schülerinnen und Schüler der Oberstufe müssen sich beim Bearbeiten dieser Aufgabe nicht primär auf den Stoff konzentrieren, die meiste Aufmerksamkeit gilt dem Lösungsweg. Und dieser Prozess ist vielschichtig und recht bunt. Man kann diese Aufgabe nämlich hervorragend geometrisch, graphisch, tabellarisch und auch symbolisch lösen.


Geometrische Lösung

Dieser Lösungsvorschlag beruht auf der Idee, dass man den Zaun rein geometrisch konstruieren und die Flächen des entstanden Hofes ausmessen kann. Im Folgenden wird daher eine Kurzform des geometrischen Ansatzes für fortgeschrittene Benutzer des TI-Nspire sowie nachfolgend eine Langform für unerfahrenere Benutzer und zum Nachschlagen etwaiger Lösungsschritte dargeboten.

Kurzform geometrische Lösung

Zentral ist die folgende Konstruktion: Die Gesamtlänge des Zauns wird als Strecke abgetragen. Nun benötigt man eine entsprechende Unterteilung. Diese wird vorgenommen, indem man die Stecke dreiteilt und mit Hilfe eines konstruierten Streckenmittelpunktes die identische Länge von zwei Teilstrecken sicherstellt. Diese Teilstrecken repräsentieren die linke und rechte Zaunbegrenzung.

08-10-2010 Bildschirm Huehnerstall Ende.jpg

Das ist dafür nützlich:

Langform geometrische Lösung

Öffnen Sie ein neues Dokument und fügen Sie eine Seite mit der Applikation Geometry ein. Zeichnen Sie dann eine Strecke.

Messen Sie die Länge der Strecke.

Um in der Größenordnung 10 m arbeiten zu können, sollte der Maßstab geändert werden.

Wenn Sie wollen - was allerdings für den Lösungsweg unerheblich ist - können Sie die Länge der Strecke anpassen, so dass diese 10 m lang ist.

Nun kommt der eigentliche Kniff: Konstruieren Sie einen Punkt auf der Strecke

und konsturieren Sie dann einen Mittelpunkt zwischen einem Streckenbegrenzungspunkt und dem Punkt auf der Strecke.

Entstanden ist so eine Unterteilung, die genau der Unterteilung des Zauns entspricht. Zwei gleich lange Abschnitte für die Seiten, ein dritter für die Front.

Nun soll das Rechteck (also der Zaun) konstuiert werden. Das geschieht mit Senkrechten.

Die Länge der Seitenwand soll nun auf eine der Senkrechten abgetragen werden. Dazu nutzen wir einen Kreis.

Nun bestimmen Sie den Schnittpunkt zwischen Kreis und Senkrechten.

Durch diesen Punkt muss nun wieder eine Senkrechte gelegt werden, um das Rechteck zu vervollständigen.

Nun können die verbleibenden Punkte des Rechtecks leicht konstruiert werden. Zeichnen Sie eine Senkrechte zum Schnittpunkt und bestimmen Sie mit Hilfe der Schnittpunktoption den vierten Eckpunkt des Rechtecks.

Das Rechteck wird als Polygon konstruiert.

Wenn Sie wollen, können Sie das Rechteck auch einfärben oder die Umrandungen hervorheben.

Abschließend müssen Sie nur noch die Fläche messen.

und die Maße so lange variieren, bis Sie das Maximum eingerenzt haben. Um das vorgegebene Problem zu lösen, müsste dabei - wie bereits zu Beginn erwähnt - die Länge der Strecke auf 10 m festgelegt werden.

Nachdem Sie Maße hinreichend lange variiert und schließlich das Maximum gefunden haben, ist die Aufgabe geometrisch gelöst.

Graphische Lösung

Dieser Lösungsvorschlag beruht auf der Idee, dass man den Zaun dynamisch konstruiert und dessen Länge fixiert. Im Folgenden wird daher eine Kurzform des graphischen Ansatzes für fortgeschrittene Benutzer des TI-Nspires sowie nachfolgend eine Langform für unerfahrenere Benutzer und zum nachschlagen etwaiger Lösungsschritte dargeboten.

Kurzform graphische Lösung

Zentral ist die folgende Konstruktion: Die Ecke des Geheges wird durch einen Punkt repräsentiert. Davon ausgehend wird das Rechteck konstruiert. Die Seitenlängen des Zauns werden gemessen. Daraus können nun (Teil-)Umfang und Flächeninhalt ermittelt werden. Die Zaunlänge wird gesperrt und das Maximum des Flächeninhalts gesucht.

10-10-2010 Bildschirm001.jpg

Das ist dafür nützlich:

Langform graphische Lösung

Starten Sie die Applikation Graphs. Konstruieren Sie einen freien Punkt im ersten Quadranten.

Mit Hilfe von Senkrechten (Linien, besondere) wird das Rechteck konstruiert.

Konstruieren Sie dann die Schnittpunkte der Senkrechten mit den Koordinatenachsen.

Messen Sie die Länge der Seiten (die die Ordinate und die Abzisse schneiden) des entsprechenden Rechtecks und platzieren Sie die Länge jeweils.

Geben Sie die beiden Formeln 2\cdota+b (zur Berechnung der Zaunlänge) und a\cdotb (zur Berechnung der Gehegefläche) ein.

Nun müssen die Werte der Formeln noch berechnet werden. Dazu das Berechnen aktivieren.

Greifen Sie den zu Beginn konstruierten Eckpunkt und stellen Sie die Zaunlänge auf 10.

Sperren Sie nun die Zaunlänge.

Suchen Sie das Maximum des Flächeninhalts.

Tabellarische Lösung

Diese Lösung nutzt den bekannten Zusammenhang zwischen der Gesamtlänge (z.B. 10 m) und der Länge der Frontseite aus. Im Folgenden wird daher eine Kurzform des tabellarischen Ansatzes für fortgeschrittene Benutzer des TI-Nspire sowie nachfolgend eine Langform für unerfahrenere Benutzer und zum Nachschlagen etwaiger Lösungsschritte dargeboten.

Kurzform tabellarische Lösung

Mit Hilfe der Tabellenkalkulation wird eine Folge a_n = n/10 erzeugt, welche die Einschaltelung des Maximums erlaubt. In Abhängigkeit von den Folgengliedern für n = 0 bis n = 100 wird zum einen die verbleibende Zaunlänge und zum anderen die Seitenlänge des Geheges berechnet.

Daraus kann der Flächeninhalt berechnet werden. Das Maximum bestimmt man dann schlicht durch Abwandern der Zellen.

Das ist dafür nützlich:

Langform tabellarische Lösung

Öffnen Sie ein neues Dokument und fügen Sie eine Seite mit der Applikation Lists & Spreadsheet ein.

Gehen Sie in die erste Spalte, die mit A bezeichnet ist, und aktivieren Sie diese.

Geben Sie in die graue Zeile und geben Sie hier den seq-Befehl ein.

Schließen Sie die Eingabe ab.

Möglicherweise erhalten Sie statt Dezimalzahlen Brüche. In diesem Fall kann man die Dokumenteinstellung verändern.

In Spalte B soll nun die verbleibende Zaunlänge berechnet werden. Da eine Zaunlänge von 10 vorgegeben wurde, wird schlicht der Wert aus Spalte A von 10 subtrahiert.

Schließen Sie die Eingabe ab.

In Spalte C wird nun die verbleibende Seitenlänge des Geheges berechnet. Dafür wird die restliche Zaunlänge durch 2 dividiert.

Schließen Sie die Eingabe ab.

Abschließend wird nun noch der Flächeninhalt des Geheges berechnet.

Schließen Sie die Eingabe ab.

Wenn Sie die Formeln auch lesen wollen, können Sie die Breite der Spalten verändern.

Schließen Sie die Eingabe ab.

Das Maximum kann nun in Spalte D gesucht werden. Das Problem ist damit gelöst.

Kurzform + Langform algebraische Lösung

ACHTUNG: Für diesen Lösungsweg brauchen Sie TI-Nspire CAS.

11-10-2010 Bildschirm001.jpg

Der algebraische Lösungsweg erfordert das meiste Vorwissen (z.B. Extremalbedingung, Nebenbedingung), ist dann aber auch der kürzeste, weswegen Kurz- und Langform hier zusammen fallen.

Öffnen Sie ein neues Dokument und fügen Sie eine Seite mit der Applikation Calculator ein. Geben Sie die Schritte wie oben gezeigt ein und beenden Sie ihre Eingaben jeweils mit ·.

Hier die inhaltliche Erläuterung der Zeilen:

Die Wege zusammenführen

Die hier vorgestellten Wege können auch zusammengeführt werden. Dazu kann man die geometrische, die graphische oder die tabellarische Lösung in eine algebraische Überführen. Wir zeigen das hier exemplarisch am Beispiel der geometrischen Lösung:

Ziel ist es, den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Breite des Geheges zu analysieren. Dazu werden im ersten Schritt die gemessenen Variablen gespeichert (Werte speichern).

Öffnen Sie zusätzlich die Applikation Lists & Spreadsheets. Die Flächeninhalte für verschiedene Breiten sollen nun gesammelt werden (Werte sammeln). Die so entstandenen Listen werden unter den Namen xk bzw. yk gespeichert. Dazu gehen Sie wie folgt vor:

Kehren Sie zurück zu Geometry und verändern Sie die Breite des Geheges. Durch den in Lists & Spreadsheets verwendeten Befehl =capture(.,1) werden die Daten bei jeder Veränderung der Variablen nun automatisch aufgenommen. Dieser Befehl lässt sich übrigens im Glossar unter (Werte sammeln) explizit nachlesen.

Die Listen xk und yk werden nun auf einer neuen Seite in der Applikation Graphs graphisch dargestellt ((Listen graphisch darstellen).

Den Fensterausschnitt anpassen.

An diese Daten soll nun der Graph einer parabel angepasst werden. Zeichnen Sie dazu den Graphen der Funktion  x^2 ((Graph zeichnen) und passen Sie die Parabel interaktiv den Daten an (siehe dazu ggf. TOP 10 des Einstiegs).

Um noch exakter arbeiten zu können, verändern Sie erneut die Einstellungen der Koordinatenachsen ((Koordinatenachsen). Ist die Anpassung gelungen, kann der Scheitelpunkt und damit das Maximum abgelesen werden.

Das Ergebnis: Bei einer Fläche von 2,5 m hat das Gehege den maximalen Flächeninhalt von ungefähr 12,5.