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Verwendung von Variablen im Mathematikunterricht

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Der richtige Umgang mit Variablen ist sicher die wichtigste Voraussetzung dafür gehobene Mathematik zu betreiben, jenseits des "Bürgerlichen Rechnens".

Inhaltsverzeichnis

Wo die Probleme sind

Einige Beispiele für Probleme bei der Verwendung von Variablen zeigt das Dokument. So werden die Versuche von erwachsenen Akademikern gezeigt, die eine Gleichung aufstellen sollen. Anhand eines Arbeitsblattes wird gezeigt, woher manche der Probleme kommen, wenn Variablen nämlich als Abkürzungen für Wörter verstanden werden.

Was bedeuten Variablen?

Im oben genannten Text wird darüber informiert: Günter Malle beschreibt in seinem Buch Didaktische Probleme der elementaren Algebra (Malle, 1993) drei Möglichkeiten, was man unter Variablen verstehen kann.

  • Gegenstandsaspekt: Die Variable wird als unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl betrachtet.
  • Einsetzungsaspekt: Die Variable wird als Platzhalter für Zahlen, resp. als Leerstelle, in die man Zahlen einsetzen darf, betrachtet.
  • Kalkülaspekt: Die Variable wird als bedeutungsloses Zeichen, mit dem man nach bestimmten Regeln operieren darf, betrachtet.


Aufgaben, welche den Gegenstandsaspekt betonen, sind häufig in einer Objektsprache formuliert. Es wird von bekannten und unbekannten Zahlen (Objekten) und ihren Beziehungen untereinander gesprochen.

Aufgaben, welche die andern beiden Aspekte betonen, sind häufig in einer Metasprache formuliert. Es ist von Gleichungen und deren Beziehungen (Äquivalenzumformungen) die Rede. Die Objektsprache ist aus folgenden Gründen für Schülerinnen und Schüler einfacher als die Metasprache:

  • Die Formulierungen sind einfacher, es bedarf keiner weiteren Erklärungen mehr.
  • Sie erlaubt eher die Konzentration auf die eigentliche Problemstellung.
  • Sie benötigt keine metasprachlichen Begriffe wie "Aussageform", "Grundmenge", "Lösungsmenge" usw.
  • Es braucht keine speziellen Regeln.

Daraus lässt sich die wichtige Folgerung ziehen:

  • Am Anfang des Unterrichts ist der Gegenstandsaspekt zu betonen!

oder anders ausgedrückt:

  • Zunächst Gleichungen gebrauchen und erst später über sie reden!

oder nochmals anders ausgedrückt:

  • Metasprachliche Begriffe sollten zu Beginn des Algebraunterrichts möglichst nicht und am Ende nur sparsam gebraucht werden!

Variablen in der Grundschule

Schon in der Grundschule kann auf das Thema Variablen eingegangen werden.

  • Beispiel: Zahlenrätsel der Form: "Ich denk mir eine Zahl".
Ich denke mir eine Zahl, multipliziere sie mit 4, addiere 10 und teile durch 5 und erhalte dann 6. Welche Zahl habe ich mir ausgedacht?

Hier steht ganz klar der Gegenstandsaspekt im Vordergrund. Dazu lernen die Schülerinnen und Schüler auch die wichtige Strategie des Rückwärtsarbeitens kennen.

  • Beispiel: Beschreibung von Beziehungen und Strukturen anhand von Zahlenfolgen

In der Grundschule verzichtet man noch auf die Nutzung von Variablen beim Beschreiben von Zahlenfolgen.

Stift.gif   Aufgabe

Lege die Würfelgebäude aus Würfeln oder zeichne sie mit Punktepapier (isometrisch).

  • Wie viele Würfel braucht es für das 5., 10., 15., ... Würfelgebäude?
  • Baue weiter, bis es insgesamt 8,10,12, ... Würfelgebäude sind. Wie viele Würfel braucht man insgesamt?

Würfelgebäude auf isometrischem Papier.png

Das Erkennen und Be­schrei­ben der Struktur, auch wenn dies noch nicht allgemein mit Buchstaben geschieht, kann man bereits algebraischem Denken zuordnen. Denn man muss erkennen, wie man aufgrund der Platznummer (erstes Gebäude, zweites Gebäude, ...) auf die Anzahl der verwendeten Würfel kommt.

Erwachsene sehen gemäß Erfahrungen in Kursen sehr häufig nur eine einzige Struktur in dieser Folge, nämlich eine quadratische Platte mit ungerader Seitenlänge und einem Loch in der Mitte. Die entsprechende algebraische Beschreibung dazu lautet:

Einzelnes Würfelgebäude auf isometrischem Papier.png(2n+1)²-1

Schülerinnen und Schüler sehen jedoch durchaus auch andere Zusammensetzungen, wie folgende Beispiele zeigen:

Einzelnes Würfelgebäude auf isometrischem Papier2.png4n²+4*n

Einzelnes Würfelgebäude auf isometrischem Papier3.png4*n*(n+1)

Das Erkennen und Beschreiben solcher Berechnungs-Strukturen - was man zuerst in mit Worten formulieren lassen kann - ist für das Verständnis algebraischer Schreibweisen mit Variablen besonders wichtig. Die unterschiedlichen Schreibweisen dienen zu einem späteren Zeitpunkt auch als Grundlage für das Verständnis von Termumformungen, dass nämlich mehrere Terme die gleiche Situation beschreiben können.

Was auch Malle in seinem Buch fordert: Zuerst mit Variablen arbeiten, dann über sie reden. Die meisten Schüler kommen mit solche Aufgaben gut zurecht, wenn man die Aufgabe nicht verkompliziert und zu verkopft.

Material Holzwürfel gibt es zum Beispiel hier zu kaufen. Alternativ kann man bei Ebay suchen (Preis-Beispiel: 1000 Stück für 28 Euro)
Material Isometrisches Papier gibt es im Internet herunter zu laden (siehe auch Hilfsmittel_für_den_Mathematikunterricht). Die Bilder oben wurden mit Hilfe von GeoGebra erstellt, das ein isometrischen Koordinatengitter bietet.

Sekundarstufe

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