Lernpfad Winkelsumme im Dreieck

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Lernpfad

In diesem Lehrpfad beschäftigen wir uns mit den Innenwinkeln im Dreieck. Ziel wird sein, herauszufinden, ob die Summe der Innenwinkel im Dreieck für beliebige Dreiecke immer gleich bleibt oder von der Form der Dreiecke abhängt. Zudem werden wir mit Hilfe unserer Ergebnisse einen kleinen Ausblick auf die Winkelsummen weiterer geometrischer Figuren wagen.


Inhaltsverzeichnis

Was müssen wir vorher wissen?

In diesem Teil möchten wir die Begrifflichkeiten klären, um zu verstehen, worüber wir überhaupt sprechen.


Was ist ein Dreieck?

Definition

Ein Dreieck ist die geometrische Figur, die entsteht, wenn man drei beliebige Punkte A, B und C miteinander durch Linien verbindet. Es bilden sich dabei drei Strecken (AB, AC und BC).


Was sind die Innenwinkel im Dreieck?

Diese Datei zeigt ein Dreieck mit Benennung von Seiten, Winkeln und Punkten. Sie ist von Hand gezeichnet.

Die Innenwinkel im Dreieck ergeben sich immer zwischen den Verbindungslinien der Punkte. Somit gilt auch, dass die Winkel vom Dreieck "eingeschlossen" werden und damit im "Inneren" des Dreiecks liegen. Bezeichnet werden die Innenwinkel in der Regel mit α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma), wobei α der Winkel im Punkt A, β der Winkel im Punkt B und γ der Winkel im Punkt C ist.

Zur Anschauung findet ihr auf der rechten Seite ein Bild, welches die Benennung, das Aussehen von Dreiecken und die Lage der Innenwinkel α, β und γ verdeutlicht.



Gehen wir nun auf Entdeckungstour

Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck? Ist sie für verschiedene Dreiecke unterschiedlich oder gibt es einen festen Wert?

In diesem Teil möchten wir nun Antworten auf diese Fragen finden, indem wir experimentieren.


Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe

Zeichnet 3 verschiedene große Dreiecke in euer Heft und bezeichnet die Punkte, Seiten und Winkel wie in dem Bild zuvor. Messt dann die Winkel α, β und γ mit eurem Geodreieck und bildet die Summe der Innenwinkel der Dreiecke, in dem ihr in jedem Dreieck α, β und γ addiert. ( α + β + γ = Summe der Innenwinkel)

Welche Beobachtung macht ihr? Könnte eure Vermutung für alle Dreiecke gelten?


Gilt eure Vermutung für alle Dreiecke?

Um eure Vermutung weiter zu testen könnt ihr nun in einem Geogebra-Applet ganz beliebige Dreiecke ausprobieren. Indem ihr einfach an den Punkten des Dreiecks zieht, könnt ihr die Form des Dreiecks verändern und jede beliebige Dreieck-Form herstellen. Die Rechnung im oberen Teil des Applets rechnet euch immer direkt die Summe der Innenwinkel aus.

Findet einer von euch ein Dreieck, wo die Summe der Innenwinkel abweicht?

Viel Spaß beim Ausprobieren!




Warum gilt unsere Vermutung?

Wie wir nun mehrfach feststellen konnten, beträgt die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer 180°. Aber warum ist das so? Diese Frage möchten wir nun beantworten. Bevor wir aber dazu kommen, werden wir unsere Beobachtung nochmals in einem Satz formulieren:

In beliebigen Dreiecken beträgt die Summe der Innenwinkel stets 180°.


Was brauchen wir für den allgemeingültigen Beweis?

Um zu zeigen, dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck auch wirklich immer 180° ergibt, müssen wir zunächst wieder ein paar Begriffe und Zusammenhänge klären. Aus diesem Grund findet ihr alle für den späteren Beweis wichtigen Sätze und Zusammenhänge auf dieser Seite:

Winkelsätze


Beweis des Satzes

Den Beweis des Satzes findet ihr nun in diesem Youtube-Video. Viel Spaß beim Zuschauen.


Aufgabe zum Beweis

Stift.gif   Aufgabe

Damit ihr den Beweis nochmals reflektiert, bearbeitet ihr bitte folgende Aufgabenstellung:

Bitte erstellt eine kurze Zusammenfassung über die Beweisführung des Satzes in eigenen Worten. Eine Zeichnung, wie in dem Video darf dabei nicht fehlen!



Ausblick auf weitere Zusammenhänge

Wir haben nun zweifelsfrei nachgewiesen, dass die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer 180° ergibt. Zu prüfen wäre jetzt, ob wir mit dieser Eigenschaft auch weiterführende Aussagen über andere geometrische Figuren treffen können.


Weiterführende Aufgaben

Stift.gif   Aufgabe
  1. Zeichnet ein beliebiges Viereck in Heft. Überlegt, wie man mit Hilfe der Innenwinkelsumme von Dreiecken auf die Innenwinkelsumme von Vierecken schließen kann.
  2. Zeichnet nun ein beliebeiges Fünfeck und ein beliebiges Sechseck in euer Heft. Kann man auch für diese Figuren mit Hilfe der Innenwinkelsumme von Dreiecken die Innenwinkelsummen bestimmen?
  3. Besprecht euch kurz mit euren Sitznachbarn, welche Beobachtungen ihr gemacht habt.