Main>Michael Schober |
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| {{Lernpfad-M|<big>'''Der Graph der quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</big> | | {{:Deutsche Geschichte/Navigation}} |
| | [[Bild:Deutsches Reich1.svg|thumb|300px|Deutsches Reich 1871-1918]] |
| | [[Bild:Reichsgründung1871-AW.jpg|thumb|300px|Proklamation des Deutschen Kaiserreiches im Spiegelsaal von Schloss Versailles (idealisierendes Gemälde von Anton von Werner)]] |
| | [[Bild:1890 Bismarcks Ruecktritt.jpg|thumb|250px|Die ''Punch''-Karikatur ''„Dropping the Pilot”'' (dt. meist ''„Der Lotse geht von Bord”'') von Sir John Tenniel zur Entlassung Bismarcks 1890]] |
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| | Der Artikel '''Deutsches Kaiserreich''' befasst sich mit der Zeit des deutschen Kaiserreichs, also mit der '''Geschichte Deutschlands von 1871 bis 1918'''. |
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| '''In diesem Lernpfad lernst du die quadratische Funktion mit dem Vorfaktor a kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad!'''
| | == Reichsgründung von oben == |
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| *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a'''
| | === Innen- und außenpolitische Grundlagen des Deutschen Kaiserreichs === |
| *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a'''
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| *'''Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick'''
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| *'''Aufstellen der Funktionsgleichung'''
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| *'''Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>" '''
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| | [[Bismarcks Außenpolitik]] |
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| In dieser Lerneinheit lernst du nun den letzten Parameter kennen, der die Parabel verändert.
| | === Deutschland 1870/71 === |
| Wie schon die Überschrift erkennen lässt, sorgt dieser Parameter für eine Streckung, Stauchung und/oder eine Spiegelung der Parabel. Wie das genau funktioniert lernst du in den nächsten Stationen.
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| Aber nun erstmal zur Funktionsgleichung. Der Parameter a kommt als "Vorfaktor" dazu, wodurch die folgende Funktionsgleichung entsteht:
| | ... |
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| '''f(x)= a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>'''
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| | ;Weblinks |
| | * {{lemo|http://www.dhm.de/lemo/html/kaiserreich/innenpolitik/reichsgruendung/index.html|Die Reichsgründung 1871}} |
| | * {{wpd|Reichsgründung}} |
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| Bevor wir uns mit den Auswirkungen des Vorfaktors beschäftigen, müssen wir die Begriffe "Streckung", "Stauchung" und "Spiegelung" erläutern, damit jeder weiß, was damit gemeint ist.
| | == Überblick == |
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| Überlege dir, was du unter den Begriffen verstehst, und löse dann die folgende Aufgabe.
| | * {{lemo|http://www.dhm.de/lemo/html/kaiserreich/index.html|Das Kaiserreich}} |
| <br>
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| <br>
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| '''Aufgabe:'''
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| Du hast verschiedene Bilder gegeben. Ordne die richtigen Begriffe zu!
| | * {{wpde|Deutsches Kaiserreich}} {{E}} |
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| | * [http://www.fontanefan.de/Fontanefan/deutschesReich19.htm Deutsches Reich im 19. Jahrhundert] ([[Benutzer:Fontane44|Fontane44]]) |
| | :Stichwortartiger Überblick mit zahlreichen guten Links |
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| <div class="lueckentext-quiz">
| | * [http://germanhistorydocs.ghi-dc.org/section.cfm?section_id=11&language=german Das Wilhelminische Kaiserreich und der Erste Weltkrieg (1890-1918)] (Deutsche Geschichte in Dokumenten und Bildern) |
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| | == Materialien == |
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| | [[Bild:Bild für Lernpfad1.jpg]] |||| [[Bild:Bild für Lernpfad2.jpg]] |||| [[Bild:Bild für Lernpfad3.jpg]]
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| |-
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| | <strong> gestreckt </strong> |||| <strong> gestaucht </strong> |||| <strong> normal </strong>
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| |}
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| </div>
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| <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
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| Nachdem wir das geklärt haben, können wir jetzt mit dem Lernpfad beginnen.
| | * [http://www.bpb.de/geschichte/deutsche-geschichte/138901/das-deutsche-kaiserreich Dossier: Das Deutsche Kaiserreich] (Bundeszentrale für politische Bildung) |
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| | ===Lernmodule für Offenen Geschichtsunterricht=== |
| | * [http://segu-geschichte.de/kaiserreich-und-imperialismus Modulserie Kaiserreich und Imperialismus] | Die einzelnen Module: [http://segu-geschichte.de/quiz-zeitleiste-kaiserreich Quiz: Zeitleiste Kaiserreich] | [http://segu-geschichte.de/der-muss-hinaus-hinaus-baeder-antisemistismus „Der muss hinaus, hinaus!“ Bäder-Antisemitismus] OER-Lernmaterialien für Offenen Geschichtsunterricht der Sek I - {{segu}} |
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| | == Interaktive Übungen == |
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| | === Zeitleiste Kaiserreich | segu Geschichte === |
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| <div align="center"><big><u>'''STATION 1: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den positiven Parameter a'''</u></big></div> | | ;[http://learningapps.org/user/segugeschichte segugeschichte]: |
| | <iframe src="//LearningApps.org/watch?app=757593" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> |
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| | == Siehe auch == |
| | * [[19. Jahrhundert]] |
| | * [[20. Jahrhundert]] |
| | * [[Deutsches Reich]] |
| | * [[Deutschland im 20. Jahrhundert]] |
| | * [[Durchbruch der Moderne]] |
| | * [[Heiliges Römisches Reich]] |
| | * [[Revolution 1848/49]] |
| | * [[Novemberrevolution]] |
| | * [[Weimarer Republik]] |
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| Bearbeite das folgende '''Arbeitsblatt:'''
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| {| {{Prettytable}}
| | [[Kategorie:Deutsche Geschichte]] |
| |- style="background-color:#8DB6CD"
| | [[Kategorie:19. Jahrhundert]] |
| ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext:
| | [[Kategorie:20. Jahrhundert]] |
| |-
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| | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionpositivea.ggb" /> ||
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| '''Hinweise:''' <br>* In der Grafik ist die Normalparabel schwarz eingezeichnet und die von a abhängige quadratische Funktion blau <br>* Bediene den roten Schieberegler mit der linken Maustaste, er verändert den Wert von a <br>* Ziehe im Lückentext die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die richtigen Felder
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| <br>
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| '''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a an der quadratischen Funktion im Hinblick auf die Normalparabel?
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| <br>
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| '''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br>
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| <br>
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Der Vorfaktor a führt zu einer '''Streckung oder Stauchung''' der Normalparabel in '''y-Richtung'''. <br>
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| Es findet jedoch keine Streckung oder Stauchung statt, wenn der Wert von a '''Eins''' ist, denn dann ist <br>
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| f(x) = 1x<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> '''identisch''' der Normalparabel. <br>
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| Ist a '''>''' 1, so ist der Graph gestreckt. <br>
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| Ist a < 1, so nennt man den Graph '''gestaucht'''. <br>
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| Außerdem ist die quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup> für den positiven Vorfaktor a nach '''oben''' geöffnet und der '''Scheitelpunkt''' S ist '''tiefster''' Punkt mit den Koordinaten <math>(0\!\,|\!\,0)</math>.
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| </div>
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| |}
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| {{Merke|
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| Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''positiven''' Faktor a gilt:
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| * Die von a abhängige Parabel entsteht aus der Normalparabel durch eine '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung
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| * Für '''a <math>=</math> 1''' gilt: Identisch zur Normalparabel, denn '''f(x)<math>=</math> 1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> x<sup>2</sup>'''
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| * Für '''a > 0''' gilt:
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| ** Der Graph ist nach '''oben''' geöffnet
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| ** '''Scheitelpunkt S''' ist '''tiefster Punkt''' und liegt im Ursprung <math>S(0\!\,|\!\,0)</math>
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| ** Für '''a > 1''' gilt: Der Graph ist '''gestreckt'''
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| ** Für '''a < 1''' gilt: Der Graph ist '''gestaucht'''
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| }}
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| Nach dem wir den Fall für den positiven Vorfaktor a untersucht haben, schauen wir uns jetzt an, was passiert, wenn der Parameter a negativ wird.
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| <div align="center"><big><u>'''STATION 2: Auswirkungen des Vorfaktors auf die Normalparabel für den negativen Parameter a'''</u></big></div>
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| Bearbeite das folgende '''Quiz''' und lerne die Auswirkungen kennen, wenn der Parameter a negativ wird!
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| {| {{Prettytable}}
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| |- style="background-color:#8DB6CD"
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| ! Quadratische Funktion f(x) = ax², für positiven und negativen Parameter a:!! Aufgabe und Quiz:
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| |-
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| | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="QuadratischeFunktionnegativea.ggb" /> || <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Aufgabe:'''
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| Bediene wieder den Schieberegler. Welche Veränderungen bewirkt der Faktor a, wenn er negativ wird?
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| '''Quiz:'''
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| Wie ist die Parabel für a < 0 geöffnet? (!gar nicht) (!nach oben) (nach unten)
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| Welche Aussage ist richtig? (!Es gibt keinen Scheitelpunkt) (!Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist tiefster Punkt) (Der Scheitelpunkt S liegt im Ursprung und ist höchster Punkt)
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| Was bewirkt der negative Vorfaktor a? (!Er bewirkt nur eine Streckung) (!Er bewirkgt nur eine Stauchung) (Er bewirkt eine Streckung oder Stauchung)
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| Was passiert wenn der Vorfaktor a = -1 ist? (Die Normalparabel wird an der x-Achse gespiegelt) (!Die Parabel ist nach oben geöffnet) (!Die Parabel ist gestaucht)
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| Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel gestreckt? (!für a < -0,5) (!für a > -1) (für a < -1)
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| Für welche negativen Werte von a, ist die nach unten geöffnete Parabel gestaucht? (!für a > -2) (für 0 > a > -1) (!für -2 < a < 0)
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| </div>
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| |}
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| {{Merke|
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| Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>''' mit dem '''negativen''' Faktor a gilt:
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| * Die von a abhängige Parabel entsteht zum einen aus der '''Spiegelung''' an der '''x-Achse''' sowie einer '''Streckung''' oder '''Stauchung''' in y-Richtung
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| * Für '''a <math>=</math> -1''' gilt: An der x-Achse gespiegelte Normalparabel; '''f(x)<math>=</math>-1<math>\cdot</math>x<sup>2</sup><math>=</math> -x<sup>2</sup>'''
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| * Für '''a < 0''' gilt:
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| ** Der Graph ist nach '''unten''' geöffnet
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| ** '''Scheitelpunkt S''' ist '''höchster Punkt''' und liegt im Ursprung <math>S(0\!\,|\!\,0)</math>
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| ** Für '''a < -1''' gilt: Der Graph ist '''gestreckt'''
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| ** Für '''a > -1''' gilt: Der Graph ist '''gestaucht'''
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| }}
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| <div align="center"><big><u>'''STATION 3: Auswirkungen des Vorfaktors auf einen Blick'''</u></big></div>
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| Da das nun einige Eigenschaften sowohl für den positiven, als auch für den negativen Vorfaktor a waren, wollen wir diese mal zusammenfassen. Dabei soll dir die folgende Grafik helfen. Du wirst feststellen, es ist gar nicht so schwer!!
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| [[Bild:OriginalbildParametera.jpg|300px|right|border]]
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| {| class="puzzle"
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera1.jpg|100px]]'''
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera4.jpg|100px]]'''
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera7.jpg|100px]]'''
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| |-
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera2.jpg|100px]]'''
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera5.jpg|100px]]'''
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera8.jpg|100px]]'''
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| |-
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera3.jpg|100px]]'''
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera6.jpg|100px]]'''
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| |'''[[Bild:OriginalbildParametera9.jpg|100px]]'''
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| |}
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| </div>
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| '''Aufgabe:'''
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| Versuche mit Hilfe der Grafik und deinem bisherigen Wissen die richtigen Kombinationen zu finden!
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| Lies die Vorgaben und die möglichen Lösungen zuerst genau durch.
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| {|
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| | || <u> Vorgabe </u> || <u> Passendes Puzzleteil </u>
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| | 1. || Vorfaktor a ist negativ || <strong>Nach unten geöffnete Parabel</strong> <br>
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| |-
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| | 2. || a < -1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong>
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| |-
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| | 3. || Scheitelpunkt S für negativen Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist höchster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]</strong>
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| |-
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| | 4. || 0 > a > -1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong>
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| |-
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| | 5. || Vorfaktor a ist positiv || <strong>Nach oben geöffnete Parabel</strong>
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| |-
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| | 6. || 0 < a < 1 || <strong>Graph ist gestaucht</strong>
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| |-
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| | 7. || Scheitelpunkt S für positiven Parameter a || <strong>Scheitelpunkt ist tiefster Punkt und liegt im Ursprung [0, 0]</strong>
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| |-
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| | 8. || a > 1 || <strong>Graph ist gestreckt</strong>
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| |-
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| | 9. || Der Vorfaktor a bewirkt eine… || <strong>Streckung oder Stauchung der Normalparabel</strong>
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| |}
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| </div>
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| <br>
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| <br>
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| <br>
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| <br>
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| <br>
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| <div align="center"><big><u>'''STATION 4: Aufstellen der Funktionsgleichung'''</u></big></div>
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| Bisher hast du den Wert des Vorfaktors a am Schieberegler der Geogebraanwendungen ablesen können. Nun wollen wir mal schauen, wie man anhand eines Graphen, den Parameter a bestimmt.
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| Wir betrachten in diesem Lernpfad den Spezialfall, dass die Parabel weder in x-Richtung noch in y-Richtung verschoben wird, also für "f(x)= a<math>\cdot</math>x<sup>2</sup>". Im nächsten Lernpfad folgt dann die Bestimmung des Parameters a auch für verschobene Parabeln.
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| Bearbeite die folgende Aufgabe und versuche dabei, die Vorgehensweise zum Bestimmen des Parameters a zu erkennen.
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| {| {{Prettytable}}
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| |- style="background-color:#8DB6CD"
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| ! Quadratische Funktion f(x) = ax<sup>2</sup>, für positiven und negativen Parameter a:!! Hinweis und Aufgaben:
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| |-
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| | <ggb_applet height="500" width="450" showResetIcon="true" filename="BestimmungParametera.ggb" /> ||
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| 1. Gegeben ist die Funktion "f(x) = 1x<sup>2</sup>". Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts auf der x-Achse.
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Wie viele Einheiten musst du dann in y-Richtung gehen um die Parabelkurve zu erreichen?''' (!2) (1) (!3)
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| </div>
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| <br>
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| 2. Bediene nun den Schieberegler und stelle a = 2 ein. Gehe genauso vor wie in der Aufgabe 1.
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Um wie viele Einheiten muss du nun in y-Richtung gehen?''' (!3) (2) (!4)
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| </div>
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| 3. Erkennst du schon ein Muster? Versuche folgendes Quiz zu lösen:
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Wenn man vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und 4 Einheiten nach oben geht, dann hat der Parameter a den Wert:''' (!1) (!2) (!3) (4)
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| </div>
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| <br>
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| 4. Stelle nun den Schieberegler auf den Wert a = -2.
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Funktioniert das Ablesen des negativen Parameters a genauso, wie bei positiven Werten von a?''' (!Nein) (JA)
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| </div>
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| <br>
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| 5. Man geht vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und drei Einheiten nach unten!
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Wie lautet der Wert vom Parameter a??''' (!1) (-3) (!3)
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| </div>
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| <br>
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| |}
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| {{Merke|
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| '''Anleitung zur Bestimmung des Parameters a:''' <br>
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| * Der Startpunkt zum Bestimmen des Parameters ist der Scheitelpunkt<br>
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| * Gehe auf der x-Achse eine Einheit nach rechts <br>
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| * Bestimme in y-Richtung die Anzahl der Einheiten bis zur Parabelkurve <br>
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| * Die Anzahl der Einheiten ergibt den Wert vom Parameter a <br>
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| * Hat man die Einheiten nach oben abgezählt, so ist der Wert von a positiv <br>
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| * Hat man die Einheiten nach unten abgezählt, so ist der Wert von a negativ <br>
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| }}
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| Um zu überprüfen, ob du die Vorgehensweise zum Finden des Parameters a verstanden hast, versuche die nächste Aufgabe zu lösen.
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| '''Aufgabe:'''
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| Bestimme die Funktionsgleichung wie gerade erlernt!
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| Ordne Bilder und Funktionsgleichungen richtig zu!
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| {|
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| |-
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| | [[Bild:Parabel1.png|150px]] |||| [[Bild:Parabel2.png|150px]] |||| [[Bild:Parabel3.png|150px]] |||| [[Bild:Parabel4.png|150px]] |||| [[Bild:Parabel5.png|150px]]
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| |-
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| | <strong> y = -0,5x<sup>2</sup> </strong> |||| <strong> y = 0x<sup>2</sup> </strong> |||| <strong> y = 2x<sup>2</sup> </strong> |||| <strong> y = -4x<sup>2</sup> </strong> |||| <strong> y = 0,5x<sup>2</sup> </strong>
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| |}
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| </div>
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| <br>
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| <div align="center"><big><u>'''STATION 5: Aufgaben zur quadratischen Funktion "f(x)<math>=</math>ax<sup>2</sup>"'''</u></big></div>
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| <big>'''1. Aufgabe:'''</big>
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| Um mal zu zeigen, woe die Parabel alles im Alltag vorkommt, hast du hier den Ausschnitt einer Brücke gegeben. Beantworte zuerst die Frage und stelle dann den Graphen, durch Bedienen des Schiebereglers, richtig ein!
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| Frage:
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Was muss für den Parameter a gelten?''' (!er ist positiv) (er ist negativ) (!a < -1) (-1 < a < 0)
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| </div>
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| <br>
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| <div align="center"><ggb_applet height="350" width="480" showResetIcon="true" filename="Hohenzollern_Brücke_River Rhine_Cologne Köln.ggb" /> </div>
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| <big>'''2. Aufgabe:'''</big>
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| Gegeben ist die Funktionsvorschrift "f(x) = 0,5x<sup>2</sup>".
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| In der folgenden Geogebra-Anwendung erkennst du die Punkte A, B, C und D.
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| Diese Punkte können in y-Richtung verschoben werden. Ihr x-Wert hingegen ist vorgegeben.
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| Überlege dir, welchen Wert der jeweilige y-Wert einnehmen muss und bewege den entsprechenden Punkt an diese Stelle.
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| Überprüfe anschlieschließend, durch Anklicken des Kontrollkästchens "Graph", ob all deine Punkte auf dem Graphen liegen, denn dann hast du die Aufgabe richtig gelöst!
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| <div align="center"><ggb_applet height="500" width="550" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_4_Sation_5_Aufgabe_2.ggb" /> </div>
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| <big>'''3. Aufgabe:'''</big>
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| Gegeben ist die quadratische Funktion "f(x) = ax<sup>2</sup>".
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [2; 12] verläuft?''' (!1) (!2) (3) (!4)
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| </div>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [3; 9] verläuft?''' (1) (!2) (!3) (!4)
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| </div>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
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| '''Welchen Wert hat der Parameter a, wenn der Graph durch den Punkt [4; 32] verläuft?''' (!1) (2) (!3) (!4)
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| </div>
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| '''Glückwunsch!'''
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| Damit hast du den Lernpfad "Streckung, Stauchung und Spiegelung der quadratischen Funktion" abgeschlossen. Im folgenden und letzten Lernpfad werden alle Parameter und Darstellungsformen der quadratischen Funktionen gemeinsam betrachtet und geübt. Viel Spaß!
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-de.svg)
LeMO: Das Kaiserreich (dhm.de)
