Terme/Grundwissenübersicht - Alles auf einen Blick und Lineare Funktionen/Station 4: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}}
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Diese Grundwissenseite dient als Übersicht über die wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit Termen.  
==Station 4: Aufstellen des Funktionsterms ==
 
'''Schlussetappe!'''
[[Datei:Refugees-1015294 1920.jpg|290px|Schlussetappe|right]]
In Station 3 hast du gelernt, wie die Funktionsgleichung linearer Funktionen aussieht und wie man den Funktionsterm am Graphen ablesen kann.
In dieser Station lernst du, wie man den Funktionsterm aufstellen kann, wenn nur wenige Angaben zur Verfügung stehen.
 
 
===4.1 Funktionsterm aus gegebenem Punkt und Steigung bestimmen===
 
In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:<br><br>


==Begriffe==
{{Box|1=Frage|2=Eine lineare Funktion <math>f</math> hat die Steigung <math>m = 1,5</math> und verläuft durch den Punkt <math>A(2|0,5)</math>.<br><br> Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, <u>''ohne''</u> den Graphen zu zeichnen? <br>Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.<br><br>
'''Term''': Ein Term ist ein Rechenausdruck, der einen Sachverhalt beschreibt und neben Zahlen auch Variablen enthalten kann.
Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher? <br>


'''Variable''': Eine Variable ist ein Platzhalter (häufig Buchstaben), der durch verschiedene Einsetzungen ausgetauscht werden kann.
'''Hilfe zur Selbsthilfe:'''


'''Definitionsmenge ''': Die Definitionsmenge ist die Menge der Zahlen, die bei der Einsetzung für eine Variable in einen Term zu einer sinnvollen Aussage führen.
<center>{{LearningApp|app=p211tz58c01|width=800px|height=500px}}</center>
|3=Arbeitsmethode}}


'''Termwert''': Der Termwert ist das Ergebnis, das man erhält, wenn man in den Term eine Zahl der Definitionsmenge einsetzt.
{{Lösung versteckt|1=
*<math>f</math>  ist linear, also gilt <math>f(x) = m* x + t</math><br>
*<math>f(x) = 1,5* x + t</math> (Steigung ist ja gegeben)<br>
''Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?''<br>
*<math>A(2|0,5)</math> liegt auf f, also <math>f(2) = 0,5</math> und sowieso <math>f(2) = 1,5 * 2 + t</math>
*Also: <math>1,5 * 2 + t = 0,5</math> oder kurz <math>3+t=0,5</math>
*Damit: <math>t = 0,5-3 = -2,5</math> <br><br>
Die Funktionsgleichung lautet: <math>f(x)=1,5\cdot x -2,5</math> }}
<br>
<br>
{{Box|1=Merke|2=Allgemein gilt: Um die Funktionsgleichung bzw. den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man nur die '''Steigung m''' und den '''y-Achsenabschnitt t''' bestimmen.|3=Merksatz}}


'''Termart''': Die Termart wird durch das letzte ausgeführte Rechenzeichen festgelegt. ([[Terme/Terme_und_Variablen/Termarten|mehr Information]])
<br>
<br>
{{Box|1=Bestimmung der Funktionsgleichung|2=Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.<br><br>


Beispiel: Eine lineare Funktion <math>f</math> hat die Steigung <math> m = 3</math> und verläuft durch den Punkt <math> A(1,4)</math>.<br>
<math>f</math> ist linear, also <math>f(x) = mx + t</math>. Und da <math> m = 3</math> ist <math> f (x) = 3x + t </math><br>
'''Es muss nur noch t bestimmt werden!'''<br><br>
<br>
<math>f(1) = 3</math> also <math>3*1 + t = 4</math> und damit <math>t = 1</math>
Die Funktiongleichung lautet somit : <math>f(x) = 3 x + 1</math>
|3=Merksatz}}




==Rechengesetze==
===4.2 Funktionsterm aus zwei gegebenen Punkten bestimmen===
'''Kommutativgesetz'''
* <math> a + b = b + a </math>
* <math> a \cdot b = b \cdot a </math>
: für alle a, b, c <math>\in Q</math>
<br />
'''Assoziativgesetz'''
* <math> a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c </math>
* <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c </math>
: für alle a, b, c <math>\in Q</math>
<br />
'''Distributivgesetz'''


<div class="grid">
{{Box|1=Bestimmung der Funktionsgleichung, wenn zwei Punkte bekannt sind|2=
<div class="width-1-2">
* <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c </math>
* <math> a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c </math>
: für alle a, b, c, <math>\in</math> <math>Q</math></div>
<div class="width-1-2">
* <math>\frac{b+c}{a}</math> = <math>\frac{b}{a}</math> + <math>\frac{c}{a}</math>  &nbsp; bzw.
: <math> (b + c) : a = b : a + c : a </math>
* <math>\frac{b-c}{a}</math> = <math>\frac{b}{a}</math> - <math>\frac{c}{a}</math>  &nbsp; bzw. 
: <math> (b - c) : a = b : a - c : a </math>
:für alle a, b, c, <math>\in Q; (a \neq  0) </math>
</div>
</div>


Beispiel:
Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte <math>A(4|5)</math> und <math>B(-4|1)</math>.<br><br>
'''Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!'''<br><br>
<math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=0,5</math>
<br><br>
'''Nun muss wie oben noch t bestimmt werden!''' Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.<br><br>
<math>f(x) = 0,5 x + t</math><br>
<math>f(4) = 5, \text{ also } 0,5 * 4 + t = 5 \text{ und damit } t = 3 </math>.
Die Funktiongleichung lautet: <math>f(x) = 0,5  x + 3</math>
|3=Merksatz}}


==Klammerregeln==
* <math> a + (b + c) = a + b + c </math>
* <math> a + (b - c) = a + b - c </math>
* <math> a - (b + c) = a - b - c </math>
* <math> a - (b - c) = a - b + c </math>
* <math> (a + b) \cdot (c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd </math>
* <math> (a - b) \cdot (c + d) = a(c + d) - b(c + d) = ac + ad - bc - bd </math>
* <math> (a + b) \cdot (c - d) = a(c - d) + b(c - d) = ac - ad + bc - bd </math>
* <math> (a - b) \cdot (c - d) = a(c - d) - b(c - d) = ac - ad - bc + bd </math>




{{Fortsetzung|weiter=Zur Übung|weiterlink=/Übung}}


{{Lernpfad Terme}}


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Terme]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Version vom 17. Dezember 2021, 11:06 Uhr

Steigung 01.png

Lineare Funktionen

Mathematik-digital.de


Station 4: Aufstellen des Funktionsterms

Schlussetappe!

Schlussetappe

In Station 3 hast du gelernt, wie die Funktionsgleichung linearer Funktionen aussieht und wie man den Funktionsterm am Graphen ablesen kann. In dieser Station lernst du, wie man den Funktionsterm aufstellen kann, wenn nur wenige Angaben zur Verfügung stehen.


4.1 Funktionsterm aus gegebenem Punkt und Steigung bestimmen

In diesem Abschnitt geht es darum, folgende Frage zu klären:


Frage

Eine lineare Funktion hat die Steigung und verläuft durch den Punkt .

Wie würdest du vorgehen, um den Funktoinsterm der Funktion zu bestimmmen, ohne den Graphen zu zeichnen?
Dokumentiere deine Überlegungen im Schulheft.

Du kommst nicht drauf? Oder bist dir nicht sicher?

Hilfe zur Selbsthilfe:

  • ist linear, also gilt
  • (Steigung ist ja gegeben)

Wir müssen also im Endeffekt nur noch den y-Achsenabschnitt t bestimmen, oder?

  • liegt auf f, also und sowieso
  • Also: oder kurz
  • Damit:

Die Funktionsgleichung lautet:



Merke
Allgemein gilt: Um die Funktionsgleichung bzw. den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man nur die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t bestimmen.



Bestimmung der Funktionsgleichung

Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.

Beispiel: Eine lineare Funktion hat die Steigung und verläuft durch den Punkt .
ist linear, also . Und da ist
Es muss nur noch t bestimmt werden!


also und damit

Die Funktiongleichung lautet somit :


4.2 Funktionsterm aus zwei gegebenen Punkten bestimmen

Bestimmung der Funktionsgleichung, wenn zwei Punkte bekannt sind

Beispiel: Die lineare Funktion f verläuft durch die Punkte und .

Zunächst muss die Steigung m bestimmt werden!



Nun muss wie oben noch t bestimmt werden! Nehme entweder Punkt A oder B zu Hilfe.


.

Die Funktiongleichung lautet:


Zur Übung
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