Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation verstecken|{{Einführung in die Funktionen}}}}
{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erkunden}}}}
__NOTOC__
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==='''Funktionen''' – was ist das eigentlich genau?===
==='''Quadratische Funktionen''' – was genau bedeutet das überhaupt? ===
Wir Menschen erkennen und suchen in unserer Welt seit jeher Zusammenhänge.  
Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein [https://vierecke.wordpress.com/quadrat/information/ Quadrat] ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.
Beispiele dafür sind: Der Zusammenhang zwischen zwei Größen wird gesucht, auch wenn die beiden Größen nicht ursächlich für einander sind. So kann etwa ein Zusammenhang wischen der Körpergröße und dem Körpergewicht festgestellt werden. Die Körpergröße ist natürlich ursächlich für das Körpergewicht.   
   
Im folgenden Lernpfad wirst du erfahren, wie man Zusammenhänge mit Funktionen sehr genau beschreiben und erstellen kann.  
Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.


Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen [http://www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_quadrat.htm Flächeninhalt]:
::: [[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]
:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>


Um den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht untersuchen zu können, müssen wir zu allererst eine Wertetabelle erstellen:
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:
 
:::{| class="wikitable float left"
:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Körpergröße!! style="width:7em" |Gewicht
! style="width:7em" |Seitenlänge !! style="width:7em" |Fläche
|-
|-
| style="text-align:center" |154 cm|| style="text-align:center" |51 kg
| style="text-align:center" |1 cm || style="text-align:center" | 1 cm<sup>2</sup>
|-
|-
| style="text-align:center" |158 cm|| style="text-align:center" |58 kg
| style="text-align:center" |2 cm || style="text-align:center" |4 cm<sup>2</sup>
|-
|-
| style="text-align:center" |161 cm|| style="text-align:center" |57 kg
| style="text-align:center" |3 cm || style="text-align:center" |9 cm<sup>2</sup>
|-
|-
| style="text-align:center" |172 cm|| style="text-align:center" |65 kg
| style="text-align:center" |4 cm || style="text-align:center" |16 cm<sup>2</sup>
|}
 
Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |  x !! style="width:7em" |y = x<sup>2</sup>
|-
|-
| style="text-align:center" |178 cm|| style="text-align:center" |70 kg
| style="text-align:center" |1 || style="text-align:center" | 1
|-
|-
| style="text-align:center" |183 cm|| style="text-align:center" |78 kg
| style="text-align:center" |2 || style="text-align:center" | 4
|-
|-
| style="text-align:center" |187 cm|| style="text-align:center" |90 kg
| style="text-align:center" |3 || style="text-align:center" | 9
|-
|-
| style="text-align:center" |193 cm|| style="text-align:center" |89 kg
| style="text-align:center" |4 || style="text-align:center" |16
|}
|}


Um nun die Funktion sichtbar zu machen können wir die Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen.
===Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?===
[[Datei:Eingetragene Wertepaare im Koordinatensystem.png|rahmenlos]]
 
Um den Graphen einer Zuordnung zu erhalten, wird nach dem Eintragen der Wertepaare ein Graph durch die Punkte gelegt. Eine Funktion kann auch nur eine Annäherung an die Wertepaare sein. In unserem Beispiel sieht man, dass man eine gerade durchlegen kann und somit eine Annäherung erhält.
[[Datei:Geogebra-export (2).png|rahmenlos]]
 
 
 
 
===Nun sollst du das Erstellen von Wertetabellen und das Erstellen von Funktionen durch Wertepaare im Koordinatensystem üben.===
<div class="box arbeitsmethode">
<div class="box arbeitsmethode">


==Aufgabe 1==
==Aufgabe 1==


'''Für diese Aufgabe benötigst du dein Heft!''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]].
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]].


In der folgenden Tabelle sind die Besucherzahlen eines Freibades während einer Woche dargestellt. 1 = Montag, 2 = Dienstag, 3 = Mittwoch...
'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in dein Heft
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem. Zeichne einen Graphen der jeden Punkt berührt.  
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Wochentag!! style="width:7em" |Besucheranzahl
! style="width:7em" | x !! style="width:7em" |y = x<sup>2</sup>
|-
| style="text-align:center" |1|| style="text-align:center" |340
|-
| style="text-align:center" |2|| style="text-align:center" |430
|-
|-
| style="text-align:center" |3|| style="text-align:center" |412
| style="text-align:center" |1 || style="text-align:center" | 1
|-
|-
| style="text-align:center" |4|| style="text-align:center" |680
| style="text-align:center" |2 || style="text-align:center" | 4
|-
|-
| style="text-align:center" |5|| style="text-align:center" |25
| style="text-align:center" |3 || style="text-align:center" | 9
|-
|-
| style="text-align:center" |6|| style="text-align:center" |55
| style="text-align:center" |4 || style="text-align:center" |16
|-
| style="text-align:center" |7|| style="text-align:center" |578
|}
|}
Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1500px|Lösungen]]|Lösungen von Lucio, Merle und Fabian anzeigen|Lösungen verbergen}}
</div>
{{Box| |Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?|Hervorhebung1}}
{{Box|Aufgabe 2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|80px]].
Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?
Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|750px|Diskussion]]
{{Lösung versteckt|Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.
Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
{{Lösung versteckt|Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.
Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.
Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode}}


Dein Helfer Ben der Pinguin hat die Aufgabe 1 auch erledigt. Vergleiche deine Lösung mit ihm!
===Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:===
[[Datei:Penguin-158551.png|rahmenlos|32x32px]]


{{Lösung versteckt|
Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


[[Datei:Kurve Aufgabe 1 Agnes.png|rahmenlos|1500px|Lösungen]]|Lösungen von Ben anzeigen|Lösungen verbergen}}
</div>


{{Box|Aufgabe 3|


==Aufgabe 2==
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
<div class="multiplechoice-quiz">
1. Handel es sich bei der Zuordnung in verbaler Darstellung um eine Funktion?
(Jeder Person wird ihre Handynummer zugeordnet.) (Jeder natürlichen Zahl wird ihre Quadratzahl zugeordnet) (Jeder ganzen Zahl wird ihre Quadratwurzel zugeordnet.) (!Eine Fläche wird einem passenden Rechteck zugeordnet.)<br />


== [[Datei:Ruled paper note with pin.svg|32x32px]] Merke! ==
Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.|Arbeitsmethode}}


Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt:" Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."


{{Box|Merke|
* Der Term


::<math>y = x^2</math> &nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp; <math>f(x)=x^2</math>


:beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
* Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
::[[Datei:Normalparabel grün.png|rahmenlos|mittig|300px|Normalparabel]]
* Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S(0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.|3=Merksatz}}


{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform}}
{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform}}
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Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]

Aktuelle Version vom 30. März 2022, 21:37 Uhr

Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt?

Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.

Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.

Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:

Fläche 1
A = 1 cm ⋅ 1 cm = 12 cm2= 1 cm2

Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:

Seitenlänge Fläche
1 cm 1 cm2
2 cm 4 cm2
3 cm 9 cm2
4 cm 16 cm2

Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A = x2. Den Flächeninhalt kannst du als Funktion von x ansehen und f(x) = x2 oder y = x2 schreiben. Fläche x^2

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) Notepad-117597.svg.

a) Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.

Lösungen


Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?


Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner Notepad-117597.svgPuzzle-1020221 640.jpg.

Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?

Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben. Diskussion

Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.

Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.

Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.

Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.

Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.


Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:

Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y = x2. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


Aufgabe 3


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) Notizblock mit Bleistift.

Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.


Merke
  • Der Term
   bzw.   
beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
  • Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man Normalparabel.
Normalparabel
  • Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle . Dieser Punkt wird Scheitelpunkt genannt.


Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)