Quadratische Funktionen erkunden/Die Scheitelpunktform und Quadratische Funktionen erkunden/Quadratische Funktionen kennenlernen: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erkunden}}}}
{{Navigation verstecken|{{Quadratische Funktionen erkunden}}}}
{{Box
__NOTOC__
|
==='''Quadratische Funktionen''' – was genau bedeutet das überhaupt? ===
|In diesem Kapitel des Lernpfads wirst du Experte für die '''Scheitelpunktform''' quadratischer Funktionen. Du kannst
Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein [https://vierecke.wordpress.com/quadrat/information/ Quadrat] ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.
#selbstständig mithilfe der vorliegenden Applets reale Flugkurven, Gebäude oder Phänomene aus der Natur modellieren,
#in einem Zuordnungsquiz selbst überprüfen, ob du alles verstanden hast, und
Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.
#abschließend in Partnerarbeit Flugkurven in verschiedenen Sportarten untersuchen.  
|Kurzinfo
}}


{{Box
Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen [http://www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_quadrat.htm Flächeninhalt]:
|Aufgabe 1
::: [[Datei:Quadrat mit 1.jpg|rahmenlos|80px|Fläche 1]]
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
:::A = 1 cm ⋅ 1 cm = 1<sup>2</sup> cm<sup>2</sup>= 1 cm<sup>2</sup>


Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2&nbsp;cm, 3&nbsp;cm und 4&nbsp;cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:
:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Seitenlänge !! style="width:7em" |Fläche
|-
| style="text-align:center" |1 cm || style="text-align:center" | 1 cm<sup>2</sup>
|-
| style="text-align:center" |2 cm || style="text-align:center" |4 cm<sup>2</sup>
|-
| style="text-align:center" |3 cm || style="text-align:center" |9 cm<sup>2</sup>
|-
| style="text-align:center" |4 cm || style="text-align:center" |16 cm<sup>2</sup>  
|}


<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="960" height="610" />
Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Den Flächeninhalt kannst du als '''Funktion von x''' ansehen und '''f(x) = x<sup>2</sup>''' oder '''y = x<sup>2</sup>''' schreiben. [[Datei:Quadrat mit x.jpg|rahmenlos|80px|Fläche x^2]]
:::{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |  x !! style="width:7em" |y = x<sup>2</sup>
|-
| style="text-align:center" |1 || style="text-align:center" | 1
|-
| style="text-align:center" |2 || style="text-align:center" | 4
|-
| style="text-align:center" |3 || style="text-align:center" | 9
|-
| style="text-align:center" |4 || style="text-align:center" |16
|}


===Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?===
<div class="box arbeitsmethode">


{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.
==Aufgabe 1==


{{{!}} class="wikitable"
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]].
{{!}}-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
{{!}}-
{{!}} Angry Birds {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> {{!}}{{!}} -0.15 ≤ a ≤ -0.13 {{!}}{{!}} 6.80 ≤ d ≤ 7.20 {{!}}{{!}} 4.70 ≤ e ≤ 5.00
{{!}}-
{{!}} Golden Gate Bridge {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> {{!}}{{!}} 0.03 ≤ a ≤ 0.05 {{!}}{{!}} 5.00 ≤ d ≤ 6.40 {{!}}{{!}} 0.80 ≤ e ≤ 1.10
{{!}}-
{{!}} Springbrunnen {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> {{!}}{{!}} -0.40 ≤ a ≤ -0.30 {{!}}{{!}} 4.70 ≤ d ≤ 5.00 {{!}}{{!}} 5.10 ≤ e ≤ 5.50
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen links) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> {{!}}{{!}} 0.33 ≤ a ≤ 0.47 {{!}}{{!}} 2.40 ≤ d ≤ 2.60 {{!}}{{!}} 4.25 ≤ e ≤ 4.40
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen mitte) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> {{!}}{{!}} 0.30 ≤ a ≤ 0.36 {{!}}{{!}} 5.70 ≤ d ≤ 6.00 {{!}}{{!}} 3.20 ≤ e ≤ 3.60
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen rechts) {{!}}{{!}} <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> {{!}}{{!}} 0.18 ≤ a ≤ 0.27 {{!}}{{!}} 9.30 ≤ d ≤ 9.50 {{!}}{{!}} 3.55 ≤ e ≤ 3.65
{{!}}-
{{!}} Gebirgsformation {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> {{!}}{{!}} -0.30 ≤ a ≤ -0.10 {{!}}{{!}} 5.10 ≤ d ≤ 5.70 {{!}}{{!}} 2.10 ≤ e ≤ 2.50
{{!}}-
{{!}} Motorrad-Stunt {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> {{!}}{{!}} -0.10 ≤ a ≤ -0.04 {{!}}{{!}} 7.30 ≤ d ≤ 8.10 {{!}}{{!}} 5.70 ≤ e ≤ 6.20
{{!}}-
{{!}} Basketball {{!}}{{!}} <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> {{!}}{{!}} -0.35 ≤ a ≤ -0.29 {{!}}{{!}} 6.20 ≤ d ≤ 6.80 {{!}}{{!}} 6.20 ≤ e ≤ 6.70
{{!}}}
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}}
|Arbeitsmethode
}}


'''a)''' Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen.
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.
{| class="wikitable"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |  x !! style="width:7em" |y = x<sup>2</sup>
|-
| style="text-align:center" |1 || style="text-align:center" | 1
|-
| style="text-align:center" |2 || style="text-align:center" | 4
|-
| style="text-align:center" |3 || style="text-align:center" | 9
|-
| style="text-align:center" |4 || style="text-align:center" |16
|}
Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian mit ihren Lsg.jpg|rahmenlos|1500px|Lösungen]]|Lösungen von Lucio, Merle und Fabian anzeigen|Lösungen verbergen}}
</div>


{{Box
|Aufgabe 2
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merksätze, S. 3)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|35px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


'''a)''' Lies dir den folgenden Merksatz aufmerksam durch.
{{Box| |Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?|Hervorhebung1}}


'''b)''' Als Beispiel ist bei dem Merksatz im Hefter der Funktionsterm <math>y=0,5(x+1)^2-2</math> einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform gegeben. Skizziere den zugehörigen Graphen in das Koordinatensystem.
{{Lösung versteckt| Denke noch mal daran, was die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> einzeln für eine Auswirkung auf die Lage des Graphen einer Funktion haben. Notiere deine Überlegungen. Kombiniert ergeben sie die Lage des Graphen der Funktion in Scheitelpunktform.|Hilfe|verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SPF Aufg2-Lösung.png|rahmenlos|300px|Lernpfad QF erkunden/erforschen, Kapitel SPF]]


{{Box|Aufgabe 2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|80px]].


Der Parameter <math>a=0,5</math> ist größer als Null aber kleiner als Eins, weshalb die Parabel nach oben geöffnet und gestaucht ist.
Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?


Da im Funktionsterm <math>(x+1)^2</math> steht, ist der Parameter <math>d=-1</math>  negativ. Die Parabel ist also um eine Einheit nach links verschoben ist.
Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben.
[[Datei:Lucio, Merle und Fabian Diskussion.jpg|rahmenlos|750px|Diskussion]]
{{Lösung versteckt|Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.


Der Parameter <math>e=-2</math> ist negativ, weshalb die Parabel um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.|Lösung|versteckt}}
Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.|Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode
{{Lösung versteckt|Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.
}}
{{Box
Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.
|Merke
|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>.
Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode}}
|Merksatz}}


{{Box
|Aufgabe 3
|Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Situationen) quadratischer Funktionen. Hier kannst du dir für die drei Darstellungsarten zum Thema Basketball ein Beispiel anzeigen lassen.


{{Lösung versteckt|[[Bild:Quadratische Funktionen beim Basketball.png|800px]]
|Beispiel|verbergen}}


===Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:===


'''a)''' Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.
Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y&nbsp;=&nbsp;x<sup>2</sup>. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


{{LearningApp|app=pozha6j7n16|width=100%|height=500px}}


{{Box|Aufgabe 3|


'''b)''' Die Lösungsübersicht am Ende verrät dir, wie viel Prozent du erreicht hast. Wenn du dich noch nicht sicher genug im Umgang mit den verschiedenen Darstellungsarten fühlst, kannst du das Quiz gerne erneut durchführen.  
'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|Arbeitsmethode
}}


{{Box
Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.|Arbeitsmethode}}
|Aufgabe 4
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 9) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|32x32px]][[Datei:Puzzle-1020221_640.jpg|rahmenlos|80x80px]].


'''a)''' Überlege dir - ohne deinem Partner zu verraten - eine Sportart, bei der die Flugkurve eines Balls (oder eines ähnlichen Sportutensils) durch eine quadratische Funktion näherungsweise modelliert werden kann. Notiere den Term (sowie die Maßeinheit) in deinem Hefter. Zur Visualisierung kannst du das untenstehende GeoGebra-Applet nutzen.


{{Lösung versteckt|Der folgende vierschrittige Lösungsplan kann dir helfen zu einer guten Funktion zu gelangen.
{{Box|Merke|
#Stelle dir deine ausgewählte Sportart genau vor. Wie weit und wie hoch fliegt z.B. der Ball? Wo findet ein Abschlag o.ä. statt und wo landet der Ball? Eine beschriftete Skizze kann dir helfen.
* Der Term
#Was bedeuten die realen Annamhmen für deine Funktion? Wo liegen die Schnittpunkte und der Scheitelpunkt?
#Finde mithilfe von Rechnungen oder des GeoGebra-Applets geeignete Parameter für deine Funktion. Notiere dann den Funktionsterm.
#Überlege, ob deine Funktionsgleichung wirklich geeignet ist, um die Flugkurve deiner im 1. Schritt gewählten Sportart zu modellieren.
|Hilfe|verbergen}}


::<math>y = x^2</math> &nbsp;&nbsp; bzw. &nbsp;&nbsp; <math>f(x)=x^2</math>


'''b)''' Tausche nun deinen Term mit deinem Partner aus. Überlege, welche Sportart durch den Funktionsterm  beschrieben werden könnte. Zur Hilfe kannst du erneut das GeoGebra-Applet oder die Hilfe nutzen.
:beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
* Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man '''Normalparabel'''.
::[[Datei:Normalparabel grün.png|rahmenlos|mittig|300px|Normalparabel]]
* Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle <math>S(0|0)</math>. Dieser Punkt wird '''Scheitelpunkt''' genannt.|3=Merksatz}}


'''c)''' Vergleicht, inwieweit ihr die von eurem Partner gemeinte Sportart erkannt habt. Diskutiert warum die Terme genau diese Sportarten beschreiben beziehungsweise inwiefern die Terme nicht eindeutig sind.
{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Scheitelpunktform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Scheitelpunktform}}
|Arbeitsmethode}}


<ggb_applet id="AsPTTRZb" width="960" height="470"/>


 
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
 
{{Fortsetzung|weiter=Die Parameter der Normalform|weiterlink=Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Normalform}}
 
 
 
'''Erstellt von: --[[Benutzer:Carsten|Carsten]] ([[Benutzer Diskussion:Carsten|Diskussion]]) 15:24, 5. Nov. 2016 (CET)
 
Überarbeitet von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
 
 
__NOEDITSECTION__


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Version vom 17. Dezember 2021, 11:35 Uhr

gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital

Quadratische Funktionen – was genau bedeutet das überhaupt?

Die Worte für sich kannst du schon einordnen. Ein Quadrat ist eine geometrische Figur bei der alle Seiten gleich lang sind. Was Funktionen sind, konntest du auf den letzten Seiten dieses Lernpfades ausführlich wiederholen.

Schauen wir uns doch einmal an, ob wir eine Verbindung zwischen Quadraten und Funktionen herstellen können, die uns schließlich zu quadratischen Funktionen führt.

Dazu zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm und berechnen dessen Flächeninhalt:

Fläche 1
A = 1 cm ⋅ 1 cm = 12 cm2= 1 cm2

Dasselbe können wir nun mit Quadraten der Seitenlängen 2 cm, 3 cm und 4 cm machen und die Werte in einer Tabelle zusammenfassen:

Seitenlänge Fläche
1 cm 1 cm2
2 cm 4 cm2
3 cm 9 cm2
4 cm 16 cm2

Für ein beliebiges Quadrat kann man die Seitenlänge mit x bezeichnen. Mit der Formel für den Flächeninhalt des Quadrates ergibt sich dann A = x2. Den Flächeninhalt kannst du als Funktion von x ansehen und f(x) = x2 oder y = x2 schreiben. Fläche x^2

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Wie sieht der Graph über den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Seitenlänge x aus?

Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) Notepad-117597.svg.

a) Übernimm die Werte aus der Tabelle in deinen Hefter und ergänze sie um weitere Werte, die dir helfen den passenden Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. b) Zeichne den zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem.

x y = x2
1 1
2 4
3 9
4 16

Lucio, Merle und Fabian haben unterschiedliche Lösungen zu Aufgabe 1. Schaue dir ihre Lösungen an und vergleiche, ob eine davon deiner eigenen Lösung ähnelt.

Lösungen


Die drei diskutieren über ihre Lösungen und versuchen herauszufinden, wer von ihnen die richtige Lösung gefunden hat. Vielleicht haben ja auch mehrere recht?


Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 3) und einen Partner Notepad-117597.svgPuzzle-1020221 640.jpg.

Lies dir die Argumente von Lucio, Merle und Fabian durch und führe die Unterhaltung mit deinem Partner weiter. Beachtet dabei auch eure eigenen Lösungen von Aufgabe 1 und lasst sie in eure Diskussion mit einfließen. Wer hat die richtige Lösung gefunden?

Notiert eure Schlussfolgerungen in euren Heftern. Dabei solltet ihr nicht nur die Lösung aufschreiben, sondern auch die Argumente, die euch dazu geführt haben. Diskussion

Bei Lucios Aussage könnte es helfen einen kleinen Ausschnitt des Graphen zu betrachten und dort noch mehr Zwischenwerte auszurechnen und einzuzeichnen.

Fabians ergänzte Werte könnt ihr zum Beispiel auf mathematische Richtigkeit überprüfen und darauf, wie sie zu dem Sachzusammenhang „Quadrat“ passen.

Bei einem Funktionsgraphen werden die einzelnen Punkte immer mit einer durchgängigen Linie verbunden. Lucios Graph sieht den anderen zwar sehr ähnlich, passt jedoch nicht ganz genau, wenn man sich noch weitere Zwischenwerte anschaut.

Merles Lösung ist richtig. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig, dass die Abstände auf den Achsen genau 1 betragen. Wichtig ist, dass die Abstände auf einer Achse alle gleich groß sind.

Fabians Graph ist auch korrekt gezeichnet. Bei quadratischen Funktionen können sowohl negative als auch positive Werte für x eingesetzt werden. Fabian hat aber nicht bedacht, dass x in unserem Beispiel für die Seitenlänge eines Quadrates steht und diese nicht negativ sein kann.


Ein paar wichtige Begriffe, die dir auf den folgenden Seiten immer wieder begegnen werden:

Wir verabschieden uns nun vorerst von unserem Beispiel mit dem Flächeninhalt eines Quadrates und betrachten die allgemeine quadratische Funktion y = x2. Das heißt, du kannst jetzt auch negative Werte für die Variable x einsetzen und der Graph der quadratischen Funktion sieht aus wie in der Lösung von Fabian.


Aufgabe 3


Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 1) Notizblock mit Bleistift.

Zeichne die Normalparabel unter den folgenden Merksatz in deinem Hefter.


Merke
  • Der Term
   bzw.   
beschreibt die einfachste quadratische Funktion.
  • Den Graphen dieser quadratischen Funktion nennt man Normalparabel.
Normalparabel
  • Die Normalparabel hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle . Dieser Punkt wird Scheitelpunkt genannt.
Die Parameter der Scheitelpunktform


Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

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