Quadratische Funktionen erkunden/Die Parameter der Normalform und Quadratische Funktionen erkunden/Die Normalform: Unterschied zwischen den Seiten

Aus ZUM-Unterrichten
< Quadratische Funktionen erkunden(Unterschied zwischen Seiten)
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
Zeile 1: Zeile 1:
{{Box
{{Box
|
|
|In diesem Kapitel stellen sich die Parameter der Normalform quadratischer Funktionen vor. Du kannst herausfinden,
|In diesem Kapitel wirst du Experte für die '''Normalform''' quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese '''andere Variante''' quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel
#wie man Parabeln strecken, stauchen und spiegeln kann,
#lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen,
#welchen Einfluss die Parameter der Normalform auf das Aussehen und die Lage der Parabel haben und
#erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und
#wie du das an den Funktionstermen erkennen kannst.
#du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen.
|Kurzinfo
|Kurzinfo
}}
}}


==Strecken, Stauchen und Spiegeln==
{{Box
|Achtung
|Dieser Abschnitt ist identisch zu dem 1. Abschnitt in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|die Parameter der Scheitelpunktform]]. Wenn du ihn dort schon bearbeitet hast, kannst du direkt weitergehen zum nächsten Abschnitt '''"Der Parameter b"'''.
|Hervorhebung1
}}




{{Box
{{Box
|Aufgabe 1
|Aufgabe 1
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 4).
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 13) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
[[Datei:Notepad-117597.svg|40px|right|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=2x^2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3) <math>y=-x^2</math> ?


'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
[[Datei:Anhalteweg.png|rahmenlos|zentriert|500px|Skizze Anhalteweg]]


{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
In der [https://www.jungesportal.de/fuehrerschein/faustformeln-fuer-die-theorie.php Fahrschule] lernt man eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Faustregel Faustformel] zur Berechnung des '''Bremsweges''' eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit): <math> f(v) \approx \frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10} </math>. Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der '''Reaktionsweg''' des Fahrers beachtet werden. Durch sie wird ein Weg von annähernd „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ zurückgelegt und der zugehörige Term lautet <math> f(v) \approx \frac{3 \cdot v}{10} </math>.


'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
Der '''Anhalteweg''' eines PKW lässt sich also näherungsweise mit folgender Formel bestimmen:
|Arbeitsmethode
<math>f(v)\approx\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}+\frac{3 \cdot v}{10}=\frac{v^2}{100}+\frac{3 \cdot v}{10}</math>
}}




In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler a betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?
'''a)''' Berechne den Anhalteweg für die Geschwindigkeiten: 30&nbsp;km/h, 50&nbsp;km/h und 70&nbsp;km/h und 100&nbsp;km/h. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle in deinem Hefter ein.  


<ggb_applet width="100%" height="500" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="eK5MmMmb" />
Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen:


{{Box
{{LearningApp|app=ppixrfhoj17|width=70%|height=350px}}
|Aufgabe 2
|In dem folgenden Lückentext werden die Erkenntnisse, die du aus Aufgabe 1 mitnehmen konntest, noch einmal ausformuliert. Füge die fehlenden Begriffe und Zahlen in die Lücken.


{{LearningApp|app=pm1vv0zbj16|height=375px}}


|Arbeitsmethode
{{Lösung versteckt|1=Der Anhalteweg wird durch einsetzen der Geschwindigkeiten v in die obige Formel berechnet. Es ergeben sich:
}}
<math>f(30)\approx\frac{30}{10}\cdot\frac{30}{10}+\frac{3 \cdot 30}{10}=\frac{30^2}{100}+\frac{3 \cdot 30}{10}=18</math>  ,
 
<math>f(50)\approx\frac{50^2}{100}+\frac{3 \cdot 50}{10}=40</math>  ,
{{Box
|Aufgabe 3
|'''Knobelaufgabe'''
 
{{LearningApp|app=pcssvbrfj16|height=500px}}
|Arbeitsmethode
}}


<math>f(70)\approx\frac{70^2}{100}+\frac{3 \cdot 70}{10}=70</math>  und


<math>f(100)\approx\frac{100^2}{100}+\frac{3 \cdot 100}{10}=130</math>  .
|2=Lösungsweg
|3=Lösungsweg verbergen}}


==Der Parameter b==


{{Box
'''b)''' Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen.
|Aufgabe 4
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 10) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|right|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


{{Lösung versteckt|1=Der Anhalteweg ist ''abhängig'' von der Geschwindigkeit. Trage deshalb die Geschwindigkeiten auf der x-Achse und die Anhaltewege auf der y-Achse deines Koordinatensystems ein.|2=Hilfe|3=Hilfe verstecken}}
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=x^2+3x</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2-3x</math> ?


'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).  
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Anhalteweg Graph.PNG|rahmenlos|500px|Anhalteweg eines PKW]]


{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|3=Hilfe verbergen}}


'''b)''' Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter a (hier a=1) ist.|2=Lösung|3=Lösung verstecken}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}
In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst den Schieberegler b betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?
<ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="MyuG9D2b" />




{{Box
{{Box
|Aufgabe 5
|Aufgabe 2
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 5)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
'''a)'''
{{LearningApp|app=pyf382e7a17|width=70%|height=500px}}
{{Lösung versteckt|1=Wie sieht der Graph aus: Ist er nach oben oder nach unten geöffnet? Nach rechts oder nach links verschoben?
 
Wende dein Wissen über die Parameter a und b an.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}


'''b)''' Überlege dir einen Tipp für deinen Partner, wie er die passenden Terme beim Pferderennen herausfinden kann. Notiere den Tipp in deinem Hefter.
Denke dir eine quadratische Funktion in Normalform aus. Notiere den Term und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an. Zur Kontrolle kannst du das unten stehende GeoGebra-Applet nutzen.


'''c)''' Vergleiche deinen Tipp mit dem deines Partners an dich.
<ggb_applet id="sRGaXKXE" width="700" height="534" border="888888" />
 
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Beispiel-Tipp Pferderennen.PNG|rahmenlos|600px|Parameter b]]|2=Beispiel Tipp anzeigen|3=Beispiel Tipp  verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}
Zeile 106: Zeile 64:
{{Box
{{Box
|Merke
|Merke
|Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:
|Terme quadratischer Funktionen können in der Form '''<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>''' (mit a ≠ 0) beschrieben werden. Diese Darstellungsform nennt man '''Normalform'''. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der '''y-Achsenabschnitt c''' direkt abgelesen werden.
 
<u>Für '''a>0:'''</u>
 
'''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.
 
'''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.
 
<u>Für '''a<0:'''</u>
 
'''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
 
'''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
|Merksatz
|Merksatz
}}
}}


==Der Parameter c==


{{Box
{{Box
|Aufgabe 6
|Aufgabe 3
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 11) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen.


'''a)''' Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst.
Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgende Funktionen gegeben hat:
::(1) <math>y=x^2+3x+2</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2) <math>y=x^2+3x-2</math> ?


'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1) und (2) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
{{LearningApp|app=ps554x1ba17|width=80%|height=500px}}


{{Lösung versteckt|1=Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.|2= Hilfe anzeigen|3=Hilfe verstecken}}


'''b)''' Zeichne die zwei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
'''b)''' Du hattest noch ein paar Schwierigkeiten bei der Zuordnung? Schau dir die folgenden Tipps an und versuche es erneut!
|Arbeitsmethode
}}


{{Lösung versteckt|1=Du kannst...


In dem Applet ist die Normalparabel <math>f(x)=x^2</math>, die du auf der Seite [[{{BASEPAGENAME}}/Quadratische Funktionen kennenlernen|Quadratische Funktionen kennenlernen]] erkundet hast, eingezeichnet. Du kannst die Schieberegler  a, b und c betätigen und dadurch den Graph <math>g(x)</math> verändern. Was passiert?
...den y-Achsenabschnitt an den Funktionsgraphen ablesen. Passt er zu einem der Funktionsterme? Oder findest du ihn in einer der Tabellen wieder?


<ggb_applet width="100%" height="571" version="4.2" showMenuBar="true" showResetIcon="true" id="uV5keF5j" />
...einen beliebigen Punkt an den Graphen ablesen. Setze die Koordinaten in einen der Funktionsterme ein oder vergleiche sie mit den Werten in einer der Tabellen.


...auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|Parameterseite]] nachschauen wofür die Paramter in der Normalform stehen. Was ist nochmal der y-Achsenabschnitt, was der Streckungsfaktor?|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verstecken}}


{{Lösung versteckt|1="Tipp 2"> Der y-Achsenabschnitt hat die Koordinaten P(0|c). In Tabellen findest du ihn deshalb als y-Wert zu x=0. In Termen steht er als Paramter c, z. B. mit c=3 in <math>y=x^2+2x+3</math>.


{{Box
Du hast alle Paare richtig zusammengefügt? Spitzenleistung, weiter zur nächsten Aufgabe!|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verstecken}}
|Aufgabe 7
|'''Welchen Wert hat der Parameter c?''' Trage deine Lösung wie in dem '''Beispiel''' ein:
 
::[[Datei:Beispiel Parameter c.PNG|rahmenlos|Beispiel]]
{{LearningApp|app=p8zh59fa317|width=100%|height=700px}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Hilfe" data-collapsetext="Hilfe verbergen">
Der Paramter c gibt den y-Achsenabschnitt an. Du kannst ihn an dem Punkt P(0|c) ablesen.</div>




{{Box
{{Box
|Merke
|Aufgabe 4
|Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 14) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].


'''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
'''a)''' Finde Werte für a, b und c, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.


'''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
<ggb_applet id="YE3FKZgC" width="895" height="610" border="888888" />
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}


{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welche Auswirkungen die einzelnen [[{{BASEPAGENAME}}/Die Parameter der Scheitelpunktform|Parameterseite]]  auf die Lage der Parabel haben.
* Ist die Parabel auf dem Bild nach oben oder nach unten geöffnet? Ist sie gestreckt oder gestaucht? Stell den Parameter a dementsprechend ein.
* In welchem [https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrant Quadranten] liegt die Parabel? Muss b positiv oder negativ sein?
* Kannst du einen y-Achsenabschnitt sehen? Stell den Parameter c dementsprechend ein.
* Kannst du den y-Achsenabschnitt nicht erkennen? Stell die Paramter a und b so ein, dass die Parabel genau über oder unter der Parabel auf dem Foto ist. Danach kannst du sie mit dem Parameter c in die richtige Höhe verschieben.|2=Hilfe|3=Hilfe verstecken}}


{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.


==Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte==
{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52</math> || -0.14 ≤ a ≤ -0.13 || 1.82 ≤ b ≤ 1.95 || -1.85 ≤ c ≤ -1.52
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || -0.40 ≤ b ≤ -0.50 || 2.05 ≤ c ≤ 2.30
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 3.15 ≤ b ≤ 3.35 || -2.95 ≤ c ≤ -2.45
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40x^2-2.00x+6.85</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 1.80 ≤ b ≤ 2.00 || 6.35 ≤ c ≤ 6.85
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33x^2-3.86x+14.69</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || -4.10 ≤ b ≤ -3.60 || 13.65 ≤ c ≤ 14.95
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22x^2-4.14x+23.04</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || -3.40 ≤ b ≤ -5.05 || 19.70 ≤ c ≤ 27.20
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.15 || 1.55 ≤ b ≤ 3.30 || -6.35 ≤ c ≤ -1.70
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 0.85 ≤ b ≤ 1.30 || 0.95 ≤ c ≤ 1.79
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 3.80 ≤ b ≤ 4.40 || -7.40 ≤ c ≤ -6.10
|}|2=Lösungsvorschläge|3=Lösungsvorschläge verstecken}}


{{Box
|Aufgabe 8
|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 4) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


Ergänze die folgenden Merksätze durch Beispiele.
|Arbeitsmethode
}}




{{Box
|Merke
|
Multipliziert man <math>y=x^2</math> mit einem Faktor a, wird die Parabel '''gestreckt, gestaucht''' und/oder '''gespiegelt'''. <math>y=ax^2</math> (mit a≠0) ergibt demnach für:


'''a > 0''': Die Parabel ist nach oben geöffnet.
'''b)''' Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] auftaucht (S. 9). Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du Parallelen und was ist anders? Notiere deine Überlegungen.


'''a < 0''': Die Parabel ist nach unten geöffnet.
'''c)''' Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen.


'''a < -1''' bzw. '''a > 1''': Die Parabel ist gestreckt.
{{Lösung versteckt|Es ist möglich, die gleiche Parabel mit einem Term in der Normalform und einem Term in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen zu beschreiben. Der Parameter a bleibt dabei in beiden Darstellungsformen gleich. Die Parameter b, c, d und e sind unterschiedlich.|Beispiellösung|Beispiellösung verstecken}}


'''-1 < a < 1''': Die Parabel ist gestaucht.


Der Parameter a wird auch '''Streckungsfaktor''' genannt.
|Merksatz
}}




{{Box
{{Quadratische Funktionen erkunden}}
|Merke
|Addiert man den Ausdruck <math>bx</math> zu <math>y=ax^2</math>, wird die Parabel sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben. Für <math>y=ax^2+bx</math> gilt:


<u>Für '''a>0:'''</u>
[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|200px|rechts|link={{BASEPAGENAME}}/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform]]


'''b>0''': Die Parabel wird nach links und unten verschoben.


'''b<0''': Die Parabel wird nach rechts und unten verschoben.


<u>Für '''a<0:'''</u>


'''b>0''': Die Parabel wird nach rechts und oben verschoben.
'''b<0''': Die Parabel wird nach links und oben verschoben.
|Merksatz
}}
{{Box
|Merke
|Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung der Parabel in y-Richtung. Er gibt dabei den '''y-Achsenabschnitt''' der Parabel <math>y=ax^2+bx+c</math> an. Es gilt für:
'''c>0''': Die Parabel wird nach oben verschoben.
'''c<0''': Die Parabel wird nach unten verschoben.
|Merksatz
}}
[[Datei:Binoculars-1026426 640.jpg|rahmenlos|links|Ausblick|100px]]
Die auf dieser Seite gewonnen '''Erkenntnisse können kombiniert werden''' und ergeben quadratische Funktion der Form <math>y=ax^2+bx+c</math>. Diese Form heißt '''Normalform'''.
Auf der [[{{BASEPAGENAME}}/Die Normalform|nächsten Seite]] lernst du diese Variante quadratischer Funktionen genauer kennen. Außerdem befinden sich noch weitere Übungsaufgaben in dem Kapitel [[{{BASEPAGENAME}}/Übungen|Übungen]].




{{Quadratische Funktionen erkunden}}


[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|200px|rechts|link={{BASEPAGENAME}}/Die Normalform]]




Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Version vom 7. April 2018, 19:30 Uhr

In diesem Kapitel wirst du Experte für die Normalform quadratischer Funktionen. Bisher hast du quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform kennengelernt. In Anwendungen wird jedoch häufig diese andere Variante quadratischer Funktionen genutzt. In diesem Kapitel

  1. lernst du eine Anwendungsbeispiel aus der Fahrschule kennen,
  2. erfährst, wie Terme quadratischer Funktionen in Normalform aussehen und
  3. du lernst in einem Quiz und einer Partnerarbeit Eigenschaften und Besonderheiten der Normalform näher kennen.


Aufgabe 1

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 13) Notizblock mit Bleistift.

Skizze Anhalteweg

In der Fahrschule lernt man eine Faustformel zur Berechnung des Bremsweges eines Autos kennen. Sie lautet „Geschwindigkeit durch 10 Mal Geschwindigkeit durch 10“ – in Termen ausgedrückt (mit v für Geschwindigkeit): . Für den tatsächlichen Anhalteweg muss jedoch auch noch der Reaktionsweg des Fahrers beachtet werden. Durch sie wird ein Weg von annähernd „drei Mal die Geschwindigkeit durch 10“ zurückgelegt und der zugehörige Term lautet .

Der Anhalteweg eines PKW lässt sich also näherungsweise mit folgender Formel bestimmen:


a) Berechne den Anhalteweg für die Geschwindigkeiten: 30 km/h, 50 km/h und 70 km/h und 100 km/h. Trage deine Ergebnisse in die Tabelle in deinem Hefter ein.

Zur Kontrolle kannst du das folgende Applet benutzen:



Der Anhalteweg wird durch einsetzen der Geschwindigkeiten v in die obige Formel berechnet. Es ergeben sich: , ,

und

.


b) Zeichne den zugehörigen Graphen in deinen Hefter und beschreibe seinen Verlauf in wenigen Sätzen.

Der Anhalteweg ist abhängig von der Geschwindigkeit. Trage deshalb die Geschwindigkeiten auf der x-Achse und die Anhaltewege auf der y-Achse deines Koordinatensystems ein.

Anhalteweg eines PKW


Der Graph zeigt nur die positiven Werte der (quadratischen) Funktion für den Anhalteweg, da der Kontext keine sinnvolle Beschreibung negativer Werte erlaubt. Der Anhalteweg verlängert sich deutlich mit zunehmender Geschwindigkeit, das heißt der Graph steigt rasch an, was charakteristisch für quadratische Funktionen mit positivem Paramter a (hier a=1) ist.


Aufgabe 2

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Merkliste, S. 5) Notizblock mit Bleistift.

Denke dir eine quadratische Funktion in Normalform aus. Notiere den Term und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an. Zur Kontrolle kannst du das unten stehende GeoGebra-Applet nutzen.

GeoGebra

Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form (mit a ≠ 0) beschrieben werden. Diese Darstellungsform nennt man Normalform. In der Normalform quadratischer Funktionen kann der y-Achsenabschnitt c direkt abgelesen werden.


Aufgabe 3

Das folgende Quiz beschäftigt sich mit dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsarten (Funktionsterm, Graph und Tabelle) quadratischer Funktionen.

a) Löse das folgende Quiz, indem du immer zwei Karten zu einem Paar zusammenfügst.



b) Du hattest noch ein paar Schwierigkeiten bei der Zuordnung? Schau dir die folgenden Tipps an und versuche es erneut!

Du kannst...

...den y-Achsenabschnitt an den Funktionsgraphen ablesen. Passt er zu einem der Funktionsterme? Oder findest du ihn in einer der Tabellen wieder?

...einen beliebigen Punkt an den Graphen ablesen. Setze die Koordinaten in einen der Funktionsterme ein oder vergleiche sie mit den Werten in einer der Tabellen.

...auf der Parameterseite nachschauen wofür die Paramter in der Normalform stehen. Was ist nochmal der y-Achsenabschnitt, was der Streckungsfaktor?
"Tipp 2"> Der y-Achsenabschnitt hat die Koordinaten P(0


Aufgabe 4

Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 14) und einen Partner Notizblock mit Bleistift Partnerarbeit.

a) Finde Werte für a, b und c, so dass die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

GeoGebra

Überlege dir, welche Auswirkungen die einzelnen Parameterseite auf die Lage der Parabel haben.

  • Ist die Parabel auf dem Bild nach oben oder nach unten geöffnet? Ist sie gestreckt oder gestaucht? Stell den Parameter a dementsprechend ein.
  • In welchem Quadranten liegt die Parabel? Muss b positiv oder negativ sein?
  • Kannst du einen y-Achsenabschnitt sehen? Stell den Parameter c dementsprechend ein.
  • Kannst du den y-Achsenabschnitt nicht erkennen? Stell die Paramter a und b so ein, dass die Parabel genau über oder unter der Parabel auf dem Foto ist. Danach kannst du sie mit dem Parameter c in die richtige Höhe verschieben.

- ! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c



b) Vielleicht ist dir aufgefallen, dass diese Aufgabe so ähnlich in dem Kapitel Scheitelpunktform auftaucht (S. 9). Vergleiche deine Ergebnisse aus beiden Aufgaben. Wo siehst du Parallelen und was ist anders? Notiere deine Überlegungen.

c) Vergleiche deine Erkenntnisse aus Aufgabe b) mit den Ergebnissen deines Partners. Fasst eure Erkenntnisse gemeinsam in wenigen Sätzen zusammen.

Es ist möglich, die gleiche Parabel mit einem Term in der Normalform und einem Term in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen zu beschreiben. Der Parameter a bleibt dabei in beiden Darstellungsformen gleich. Die Parameter b, c, d und e sind unterschiedlich.



gRIFIKBERSCHREIBUNG)

Quadratische Funktionen erkunden

< Mathematik-digital


Pfeil Hier geht's weiter.png





Erstellt von: Elena Jedtke (Diskussion)

Abgerufen von „https://unterrichten.zum.de/index.php?title=Quadratische_Funktionen_erkunden/Die_Parameter_der_Normalform&oldid=50477“