Benutzer:MatheSchmidt: Unterschied zwischen den Versionen

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(Satz von Euler)
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<math>a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m</math>.
 
<math>a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m</math>.
  
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'''Beweis.'''
 
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Es gibt genau <math>\varphi(m)</math> zu <math>m</math> teilerfremde Zahlen, die kleiner als <math>m</math> sind.
 
Es gibt genau <math>\varphi(m)</math> zu <math>m</math> teilerfremde Zahlen, die kleiner als <math>m</math> sind.

Version vom 8. Juli 2008, 17:27 Uhr

Kurzinfo

Inhaltsverzeichnis

Zur Person:

Schmidti.gif
Reinhard Schmidt

Tätigkeit: Lehrer
Schule: Hollenberg-Gymnasium Waldbröl
Bundesland: Nordrhein-Westfalen
Fächer: Mathematik, Philosophie
Internet:
hirnwindungen.de
Das Wunderland der Geometrie und
matheschmidt.de
Arbeitsschwerpunkte: Mathematik-Olympiade, Zusammenarbeit von Schule und Hochschule, mathematik-digital.de

 

"Mathe zählt, weil Mathematik das Werkzeug ist, mit dem man sich die Welt zu eigen macht."

Links

Die folgende Linksammlung enthält Verweise auf fertige oder geplante Lernpfade:

Satz von Euler

Wenn a und m teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m.

Beweis:

Beweis. Es gibt genau \varphi(m) zu m teilerfremde Zahlen, die kleiner als m sind. Diese wollen wir mit r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)} bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} teilerfremd zu m; überdies sind die Zahlen ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} paarweise inkongruent. Daher ist r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also 1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m, qed.


Quiz

1. Ist die folgende Aussage wahr?

7^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 9
23^{10} \equiv 1 \; \rm{mod} \; 11
4^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 8

Punkte: 0 / 0