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Version vom 17. März 2008, 15:32 Uhr

Satz von Euler

Wenn a und m teilerfremde natürliche Zahlen sind, dann ist ohne jeden Zweifel a^{\varphi(m)}\equiv 1 \; \rm{mod} \; m.

Beweis. Es gibt genau \varphi(m) zu m teilerfremde Zahlen, die kleiner als m sind. Diese wollen wir mit r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)} bezeichnen. Trivialerweise sind dann auch ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} teilerfremd zu m; überdies sind die Zahlen ar_1,ar_2,...,ar_{\varphi(m)} paarweise inkongruent. Daher ist r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\cdot ar_2\cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ...\cdot r_{\varphi(m)} \; \rm{mod} \; m, also 1\equiv a^{\varphi(m)}1 \; \rm{mod} \; m, qed.

Quiz

1. Ist die folgende Aussage wahr?

7^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 9
23^{10} \equiv 1 \; \rm{mod} \; 11
4^6 \equiv 1 \; \rm{mod} \; 8

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