Quadratische Funktionen erforschen/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform und Quadratische Funktionen erforschen/Übungen: Unterschied zwischen den Seiten

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< Quadratische Funktionen erforschen(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Elena Jedtke
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Main>Elena Jedtke
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{| {{Bausteindesign6}}
=='''Parameter'''==
 
| In diesem Kapitel kannst du herausfinden, wie du quadratische Funktionen in '''Scheitelpunktform''' in quadratische Funktionen in '''Normalform''' umwandeln kannst.  
 
 
===Scheitelpunktform===
|}
 
 
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S. 16) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
In dieser Aufgabe werden die Parameter kombiniert, die du in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Scheitelpunktform|Die Parameter der Scheitelpunktform]] kennengelernt hast.
 
Gegeben ist die Wertetabelle:
 
[[Datei:Tabelle Übung1.PNG|rahmenlos|750px|Übung zu Parametern]]
 
'''a)''' Zeichne die Graphen zu den Funktionen ''f''(x), ''g''(x) und ''h''(x) in das Koordinatensystem in deinem Hefter. Nicht alle y-Werte können sinnvoll in den Ausschnitt, der in dem Koordinatensystem gezeigt wird, eingetragen werden.
<popup name="Lösung">[[Datei:Lösung zu Übung1.PNG|rahmenlos|750px|Lösung zu Tabelle Übung1]]</popup>
 
'''b)''' Bestimme die Funktionsterme in Scheitelpunktform.
 
<popup name="Lösung"><math>f(x)=1/5x^2-3.5</math>
 
<math>g(x)=(x+4)^2+0.5</math>
 
<math>h(x)=-5(x-2)^2+10</math></popup>}}
 
 
{{Übung|
 
In diesem Applet sind verschiedene Graphen abgebildet. Ermittle die zugehörigen Funktionsterme und trage sie in die Felder unter den jeweiligen Graphen ein.
 
'''Hinweise:'''
 
::'''1. Beginne jeden Term mit <math>y=</math>'''
 
::'''2. Wenn du ein "hoch 2" einfügen möchtest, schreibe ^2.'''
 
 
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=p8guq0hdn17" style="border:0px;width:70%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung">[[Datei:Lösung Applet Finde den Term.PNG|rahmenlos|800px|Lösung zu Applet]]</popup>}}
 
 
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S.17)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
Vervollständige die Tabelle:


[[Datei:Übung Lagebeschreibung.PNG|rahmenlos|750px|Übungsaufgabe]]


__TOC__
<popup name="Lösungsvorschlag">[[Datei:Übung Lagebeschreibung Lsg.PNG|rahmenlos|750px|Lösungsvorschlag]]</popup>}}




==Von der Scheitelpunkt- zur Normalform==
===Normalform===


{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#BEF28C}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#ffffff}}}"
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S. 17)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|-
|<div style="font: 10pt Verdana; font-weight:bold; padding:5px; border-bottom:1px solid #AAAAAA;">[[Bild:Nuvola apps edu miscellaneous.png|30px]] &nbsp; Beispiel
</div>
Für den Basketballwurf konnten näherungsweise diese beiden Funktionsterme gefunden werden:
{|
|-
|[[Datei:Basketball Scheitelpunktform.PNG|rahmenlos|Basketballwurf Parabel|500px]]||[[Datei:Basketball Normalform.PNG|rahmenlos|Basketballwurf Parabel|500px]]
|-
|}


Die Funktionsterme müssen irgendwie ineinander überführbar sein, da sie die gleiche Parabel beschreiben.
Zwei Parabeln sollen den gleichen y-Achsenabschnitt c haben. Gib je zwei Funktionsterme in Normalform an.


Durch '''Ausmultiplikation''' der Scheitelpunktform erhalten wir:
'''a)''' <math>c=1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''b)''' <math>c=-2,5</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''c)''' <math>c=-4</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''d)''' <math>c=\frac{3}{5}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''e)''' <math>c=0</math>


<popup name="Beispiellösung">
Deine Terme können ganz anders aussehen, als die Terme hier in den Lösungsvorschlägen. Wichtig ist, dass deine zwei Terme jeweils den gleichen y-Achsenabschnitt c wie angegeben haben. Die Parameter a und b können dann beliebig variiert werden.


{|
{|
|-
|-
|'''Funktionsterm'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
|'''a)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=x^2+2x+1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''b)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=-x^2+2x-2,5</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''c)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=2x^2-2x-4</math>
|-
|-
|
|
|-
|<math>f(x)=-0,32(x-6,5)^2+6,45</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
|-
|-
|
|
|-
|-
|<math>=-0,32((x-6,5)\cdot(x-6,5))+6,45</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=2x^2+2x+1</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=x^2-x-2,5</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=2x^2-3x-4</math>
|-
|}
|
 
 
{|
|-
|-
|<math>=-0,32(x^2-13x+42,25)+6,45</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
|'''d)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=-x^2+x+\frac{3}{5}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''e)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=-x^2+x</math>
|-
|-
|
|
|-
|<math>=-0,32x^2+4,16x-13,52+6,45</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen
|-
|-
|
|
|-
|-
|<math>=-0,32x^2+4,16x-7,07</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=-x^2+5x+\frac{3}{5}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>y=x^2-x</math>
|}
|}
</popup>}}
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S. 18) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
'''a)''' Denke dir drei Funktionsterme in Normalform aus.
Denke dir Werte für die Parameter a, b und c aus und setze sie ein.
'''Beispiel:''' Für <math>a=1</math>, <math>b=1</math> und <math>c=-4</math> erhält man: <math>y=1\cdot x^2+1\cdot x-4</math>.</popup>
'''b)''' Gib deinem Partner deine Funktionsterme und nimm dafür seine. Zeichnet die Graphen zu den Termen.
<popup name="Lösung">Zur Kontrolle kannst du das unten stehende '''GeoGebra-Applet''' benutzen.
Gib die Parameter der Funktionsterme ein und vergleiche deinen Graph mit dem Ergebnis im Applet.</popup>
'''c)''' Vergleicht eure Ergebnisse und erklärt Schritt-für-Schritt wie ihr die Graphen erstellt habt. Notiert eine gemeinsame Schritt-für-Schritt-Anleitung in euren Hefter.
<popup name="Lösungsvorschlag">1. y-Achsenabschnitt P(0|c) ablesen.
2. Verschiedene x-Werte in den Term einsetzen und so die zugehörigen y-Werte bestimmen (Erstellen einer Tabelle).
3. Koordinatensystem zeichnen und Punkte eintragen.
4. Punkte zu einer Parabel verbinden.</popup>}}
<iframe scrolling="no" title="Kopie von Die Normalform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/GBnam42z/width/750/height/499/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="750px" height="499px" style="border:0px;"> </iframe>
===Allgemeine Übungen===
{{Übung|Teste dein Wissen und werde Punkte-Millionär:
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=phcsyj21c17" style="border:0px;width:70%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S. 19) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]].
'''a)''' Denke dir zwei Terme quadratischer Funktionen aus und notiere eine Lagebeschreibung des Graphen.
<popup name="Beispiel">Die Parabel ist eine an der x-Achse gespiegelte Normalparabel. Sie ist um je eine Einheit nach rechts und nach oben verschoben. Ihr Scheitelpunkt lautet S(1|1).</popup>
'''b)''' Tausche deine Beschreibungen (nicht den Term!) mit denen deines Partners aus und bestimme seine Funktionsterme.
<popup name="Beispiel">Die Lösung zu dem Beispiel in Übungsteil a) lautet: <math>y=(x-1)^2+1</math>.</popup>
'''c)''' Kontrolliert eure Ergebnisse gegenseitig. Habt ihr die richtigen Terme gefunden? Wenn nicht, versucht gemeinsam eure Fehler aufzudecken und zu klären.
}}


=='''Von der Scheitelpunkt- zur Normalform'''==


Ein Blick auf das zweite Bild oben zeigt, dass das '''Ergebnis''' der Ausmultiplikation genau der '''Term in Normalform''' ist.
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S. 20)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
|}<noinclude>


Forme die folgenden Terme in Scheitelpunktform in Normalform um:


{{Aufgaben|1|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].


'''a)''' Lies dir das Beispiel oben durch und versuche es nachzuvollziehen.
<math>(1)y=(x-2)^2+3</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(4)y=(x-1,5)^2-7</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(7)y=(x+4)^2+2</math>


'''b)''' Nimm deine Lösung zu der [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|1. Aufgabe bei der Scheitelpunktform]] in deinen Hefter (S. 9) und wähle zwei deiner Terme aus. Multipliziere diese Funktionsterme wie im Beispiel aus und notiere deine Rechnung.
<math>(2)y=-(x+5)^2+25</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(5)y=2(x+7)^2-35</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(8)y=-3(x-6)^2</math>


'''c)''' Vergleiche die Ergebnisse deiner Ausmultiplikation mit deinen Termen für die [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform|4. Aufgabe bei der Normalform]] (S.14).
<math>(3)y=4(x-1)^2+0,5</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(6)y=(x+0,5)^2+0,75</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(9)y=0,5(x-2)^2-16</math>


<popup name="Hinweis">Es kann sein, dass dein Ergebnis etwas von deinem eigenem Normalformterm abweicht. Das liegt dann daran, dass du die Parabel bei der Aufgabe auf der Normalformseite nicht genau gleich in das Bild gelegt hast wie auf der Scheitelpunktseite. Du solltest dich jedoch in dem angegebenen Spielraumbereich der Lösungsvorschläge befinden.</popup>
 
<popup name="Lösungsvorschläge">
<popup name="Lösung">
{|
{|
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|-
|'''Funktionsterm Angry Birds'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Golden Gate Bridge'''
|'''Funktionsterm (1)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm (6)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
|-
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|-
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|-
|<math>y=(x-2)^2+3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>y=(x+0,5)^2+0,75</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
|-
|
|-
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|-
|<math>=(x-2)(x-2)+3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=(x+0,5)(x+0,5)+0,75</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
|-
|-
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|
Zeile 78: Zeile 169:
|
|
|-
|-
|<math>f(x)=-0,13(x-7)^2+4,85</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,04(x-5,7)^2+1</math>
|<math>=x^2-2x-2x+4+3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=x^2+0,5x+0,5x+0,25+0,75</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen
|-
|-
|
|
Zeile 84: Zeile 175:
|
|
|-
|-
|<math>=-0,13x^2+1,82x-1,52</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=0,04x^2-0,456x+2,3</math>
|<math>=x^2-4x+7</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=x^2+x+1</math>
|}
|}


Zeile 90: Zeile 181:
{|
{|
|-
|-
|'''Funktionsterm Springbrunnen'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Elbphilharmonie (links)'''
|'''Funktionsterm (2)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm (7)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
|-
|
|-
|
|-
|<math>y=-(x+5)^2+25</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;||<math>y=(x+4)^2+2</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
|-
|
|-
|
|-
|<math>=-((x+5)(x+5))+25</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>=(x+4)(x+4)^2+2</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
|-
|
|-
|
|-
|<math>=-(x^2+5x+5x+25)+25</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>=x^2+4x+4x+16+2</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen
|-
|-
|
|
Zeile 96: Zeile 205:
|
|
|-
|-
|<math>f(x)=-0,33(x-4,85)^2+5,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,4(x-2,5)^2+4,35</math>
|<math>=-x^2-10x-25+25</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen&nbsp;&nbsp;||<math>=x^2+8x+18</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
|-
|
|
Zeile 102: Zeile 211:
|
|
|-
|-
|<math>=-0,33x^2+3,2x-2,46</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=0,4x^2-2x+6,85</math>
|<math>=-x^2-10x</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|}
|}


Zeile 108: Zeile 217:
{|
{|
|-
|-
|'''Funktionsterm Elbphilharmonie (mitte)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Elbphilharmonie (rechts)'''
|'''Funktionsterm (3)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm (8)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
|-
|
|-
|
|-
|<math>y=4(x-1)^2+0,5</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;||<math>y=-3(x-6)^2</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
|-
|-
|
|
Zeile 114: Zeile 229:
|
|
|-
|-
|<math>f(x)=0,33(x-5,85)^2+3,4</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=0,22(x-9,4)^2+3,6</math>
|<math>=4((x-1)(x-1))+0,5</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>=-3((x-6)(x-6))</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
|-
|-
|
|
Zeile 120: Zeile 235:
|
|
|-
|-
|<math>=0,33x^2+3,86x+14,69</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=0,22x^2-4,14x+23,04</math>
|<math>=4(x^2-x-x+1)+0,5</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;||<math>=-3(x^2-6x-6x+36)</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
|-
|
|-
|
|-
|<math>=4x^2-4x-4x+4+0,5</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen&nbsp;&nbsp;||<math>=-3x^2+18x+18x-108</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen
|-
|
|-
|
|-
|<math>=4x^2-8x+4,5</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=-3x^2+36x-108</math>
|}
|}


Zeile 126: Zeile 253:
{|
{|
|-
|-
|'''Funktionsterm Gebirge'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm Motorrad'''
|'''Funktionsterm (4)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||'''Funktionsterm (9)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
|-
|
|-
|
|-
|<math>y=(x-1,5)^2-7</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>y=0,5(x-2)^2-16</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
|-
|
|-
|
|-
|<math>=(x-1,5)(x-1,5)-7</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>0,5((x-2)(x-2))-16</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;innere Klammer ausmultiplizieren
|-
|
|-
|
|-
|<math>=x^2-1,5x-1,5x+2,25-7</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=0,5(x^2-2x-2x+4)-16</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
|-
|-
|
|
Zeile 132: Zeile 277:
|
|
|-
|-
|<math>f(x)=-0,2(x-5,4)^2+2,3</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>f(x)=-0,07(x-7,7)^2+5,95</math>
|<math>=x^2-3x-4,75</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=0,5x^2-x-x+2-16</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen
|-
|-
|
|
Zeile 138: Zeile 283:
|
|
|-
|-
|<math>=-0,2x^2+2,16x-3,53</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=-0,07x^2+1,08x+1,79</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||<math>=0,5x^2-2x-14</math>
|}</popup>}}
|}




Das folgende Applet kannst du nutzen, um deine Ergebnisse aus Aufgabe 1 zu kontrollieren. Außerdem kannst du mit den Parametern beider Darstellungsformen experimentieren und zum Beispiel untersuchen, wie du die Parameterwerte verändern musst, um beide Graphen an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem übereinander zu legen.
{|
<iframe scrolling="no" title="SPF und NF im Vergleich" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/R9CvVq59/width/700/height/466/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/true" width="700px" height="466px" style="border:0px;"> </iframe>
|-
|'''Funktionsterm (5)'''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''Schritt-für-Schritt-Anleitung'''
|-
|
|-
|
|-
|<math>y=2(x+7)^2-35</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer auflösen
|-
|
|-
|
|-
|<math>=2((x+7)(x+7))-35</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Klammer ausmultiplizieren
|-
|
|-
|
|-
|<math>=2(x^2+7x+7x+49)-35</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;Zusammenfassen
|-
|
|-
|
|-
|<math>=2x^2+14x+14x+98-35</math>
|-
|
|-
|
|-
|<math>=2x^2+28x+63</math>
|}</popup>
}}




==Erklärvideo==
=='''Quadratische Funktionen anwenden'''==


Daniel Jung hat auf Youtube in seinem Channel ''Mathe by Daniel Jung'' zu den verschiedensten Themen Erklärvideos erstellt.  
{{Übung|Diese Aufgabe befindet sich auch in den Kapiteln zur [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] und zur [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform|Normalform]]. Du kannst sie hier erneut als Übung verwenden, indem du die Bilder bearbeitest, die du dort ausgelassen hast.  


Falls dir die Umformung von der Scheitelpunkt- auf die Normalform schwer fiel, kannst du dir hier ein Video dazu anschauen und es dann noch einmal probieren. Denke daran dir Kopfhörer anzuziehen, sofern du nicht alleine in einem Raum bist.


<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/_rvvZn1zTRc" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
Finde Werte für a, d und e bzw. a, b und c, so dass <math>f(x)</math> bzw. <math>g(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt.


<iframe scrolling="no" title="Übung: Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Jymnn6u8/width/895/height/610/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>


==Parameter c und Parameter e im Vergleich==
<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.


{{Aufgaben|2|'''Für diese Aufgabe benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 15-16)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
'''Scheitelpunktform:'''


[[Datei:Unterhaltung c ungleich e.PNG|rahmenlos|650px|Parameter QF]]
{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}


'''a)''' Lies dir die Unterhaltung von Fabian, Merle und Lucio durch.
'''Normalform:'''


'''b)''' Denke dir zwei Funktionsterme quadratischer Funktionen aus für die gilt:
{| class="wikitable"
 
|-
(1) <math>c=e</math> bzw. (2) <math>c \neq e</math>. Gib jeweils die Werte für <math>c</math> und <math>e</math> an.
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c
 
|-
'''c)''' Zeichne die Parabeln zu deinen Funktionstermen aus '''b)''' in ein Koordinatensystem.
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52</math> || -0.14 ≤ a ≤ -0.13 || 1.82 ≤ b ≤ 1.95 || -1.85 ≤ c ≤ -1.52
 
|-
<popup name="Lösung">
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || -0.40 ≤ b ≤ -0.50 || 2.05 ≤ c ≤ 2.30
 
|-
Dein Ergebnis kann zum Beispiel so aussehen:
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 3.15 ≤ b ≤ 3.35 || -2.95 ≤ c ≤ -2.45
 
|-
[[Datei:Beispiellösung Parameter c und e.PNG|rahmenlos|500px|Beispiel]]
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40x^2-2.00x+6.85</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 1.80 ≤ b ≤ 2.00 || 6.35 ≤ c ≤ 6.85
 
|-
Bei der Funktion <math>f(x)</math> sind <math>c=e=-5</math>.  
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33x^2-3.86x+14.69</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || -4.10 ≤ b ≤ -3.60 || 13.65 ≤ c ≤ 14.95
 
|-
Bei <math>g(x)</math> ist <math>c=4</math> und <math>e=0</math>.
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22x^2-4.14x+23.04</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || -3.40 ≤ b ≤ -5.05 || 19.70 ≤ c ≤ 27.20
 
|-
 
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.15 || 1.55 ≤ b ≤ 3.30 || -6.35 ≤ c ≤ -1.70
Nutze das GeoGebra-Applet um deine eigene Lösung zu kontrollieren:
|-
<iframe scrolling="no" title="Kontrolle: Parameter c und e" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/DRDCQZvn/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/true" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 0.85 ≤ b ≤ 1.30 || 0.95 ≤ c ≤ 1.79
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 3.80 ≤ b ≤ 4.40 || -7.40 ≤ c ≤ -6.10
|}
</popup>}}
</popup>}}




==Merksätze==
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (S. 21)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]].
 
{{Aufgaben|3|Lies dir die folgenden Merksätze aufmerksam durch.}}
 
 
{{Merke-blau|Quadratische Funktionen können auf verschiedene Weisen in Termen dargestellt werden. Die beiden Formen, die du bisher kennengelernt hast, heißen
 
*[[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] und
 
*[[Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform|Normalform]].
 
Eine Parabel kann immer in beiden Darstellungsformen beschrieben werden.}}
 
 
{{Merke-blau|Durch Ausmultiplikation des Terms einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform erhält man den zugehörigen Term in Normalform.}}
 
 
{{Merke-blau|Für den Parameter c gilt:
 
[[Datei:Beispiel c ungleich e.PNG|rahmenlos|600px|Parameter QF]]}}


[[Datei:Aufgabe Terrasse für Kiosk.PNG|rahmenlos|700px|Übungsaufgabe]]


<popup name="Lösung">'''a)''' <math>A(2)=2 \cdot (20-2)=2 \cdot 18=36</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>A(4)=4 \cdot (20-4)=4 \cdot 16=64</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>A(10)=10 \cdot (20-10)=10 \cdot 10=100</math>




Für x&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;m beträgt der Flächeninhalt der Terrasse 36&nbsp;m<sup>2</sup>. Ist die Seitenlänge x&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;m, dann beträgt der Flächeninhalt der Terrasse 64&nbsp;m<sup>2</sup>. Bei einer Seitenlänge von x&nbsp;=&nbsp;10&nbsp;m beträgt der Flächeninhalt 100&nbsp;m<sup>2</sup>.


[[Datei:Pfeil Hier geht's weiter.png|rahmenlos|rechts|link=Quadratische Funktionen erforschen/Übungen]]
Hinweis: Hier kannst du auch andere Werte x eingesetzt haben. Um eine sinnvolle Lösung zu erhalten darf x weder kleiner 0&nbsp;m noch größer als 20&nbsp;m sein. In den Fällen würdest du einen negativen Flächeninhalt erhalten.




'''b)''' <math>A(x)=x \cdot (20-x)</math>


Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: <math>A=a \cdot b</math>, wobei a und b die Seitenlängen des Rechtecks beschreiben. Für die Terrasse gilt: <math>a=x</math> und <math>b=20-x</math>.</popup>}}

Version vom 31. August 2017, 09:43 Uhr

Quadratische Funktionen erforschen

< Mathematik-digital


Parameter

Scheitelpunktform

Übung
{{{1}}}



Übung
{{{1}}}



Übung
{{{1}}}



Normalform

Übung



Übung

c) ablesen.

2. Verschiedene x-Werte in den Term einsetzen und so die zugehörigen y-Werte bestimmen (Erstellen einer Tabelle).

3. Koordinatensystem zeichnen und Punkte eintragen.

4. Punkte zu einer Parabel verbinden.</popup>




Allgemeine Übungen

Übung

Teste dein Wissen und werde Punkte-Millionär:



Übung
{{{1}}}



Von der Scheitelpunkt- zur Normalform

Übung



Quadratische Funktionen anwenden

Übung

- ! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e



Übung
{{{1}}}


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