Quadratische Funktionen erforschen/Von der Scheitelpunkt- zur Normalform und Quadratische Funktionen erforschen/Übungen: Unterschied zwischen den Seiten
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< Quadratische Funktionen erforschen(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Elena Jedtke Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Elena Jedtke KKeine Bearbeitungszusammenfassung |
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{| | =='''Parameter'''== | ||
===Scheitelpunktform=== | |||
|} | |||
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 16) [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
In dieser Aufgabe werden die Parameter kombiniert, die du in dem Kapitel [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Parameter der Scheitelpunktform|Die Parameter der Scheitelpunktform]] kennengelernt hast. | |||
Gegeben ist die Wertetabelle: | |||
[[Datei:Tabelle Übung1.PNG|rahmenlos|750px|Übung zu Parametern]] | |||
'''a)''' Zeichne die Graphen zu den Funktionen ''f''(x), ''g''(x) und ''h''(x) in das Koordinatensystem in deinem Hefter. Nicht alle y-Werte können sinnvoll in den Ausschnitt, der in dem Koordinatensystem gezeigt wird, eingetragen werden. | |||
<popup name="Lösung">[[Datei:Lösung zu Übung1.PNG|rahmenlos|750px|Lösung zu Tabelle Übung1]]</popup> | |||
'''b)''' Bestimme die Funktionsterme in Scheitelpunktform. | |||
<popup name="Lösung"><math>f(x)=1/5x^2-3.5</math> | |||
<math>g(x)=(x+4)^2+0.5</math> | |||
<math>h(x)=-5(x-2)^2+10</math></popup>}} | |||
{{Übung| | |||
In diesem Applet sind verschiedene Graphen abgebildet. Ermittle die zugehörigen Funktionsterme und trage sie in die Felder unter den jeweiligen Graphen ein. | |||
'''Hinweise:''' | |||
::'''1. Beginne jeden Term mit <math>y=</math>''' | |||
::'''2. Wenn du ein "hoch 2" einfügen möchtest, schreibe ^2.''' | |||
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=p8guq0hdn17" style="border:0px;width:70%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | |||
<popup name="Lösung">[[Datei:Lösung Applet Finde den Term.PNG|rahmenlos|800px|Lösung zu Applet]]</popup>}} | |||
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S.17)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
Vervollständige die Tabelle: | |||
[[Datei:Übung Lagebeschreibung.PNG|rahmenlos|750px|Übungsaufgabe]] | |||
<popup name="Lösungsvorschlag">[[Datei:Übung Lagebeschreibung Lsg.PNG|rahmenlos|750px|Lösungsvorschlag]]</popup>}} | |||
== | ===Normalform=== | ||
{ | {{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 17)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | ||
Für | |||
Zwei Parabeln sollen den gleichen y-Achsenabschnitt c haben. Gib je zwei Funktionsterme in Normalform an. | |||
'''a)''' <math>c=1</math> '''b)''' <math>c=-2,5</math> '''c)''' <math>c=-4</math> '''d)''' <math>c=\frac{3}{5}</math> '''e)''' <math>c=0</math> | |||
<popup name="Beispiellösung"> | |||
Deine Terme können ganz anders aussehen, als die Terme hier in den Lösungsvorschlägen. Wichtig ist, dass deine zwei Terme jeweils den gleichen y-Achsenabschnitt c wie angegeben haben. Die Parameter a und b können dann beliebig variiert werden. | |||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
|''' | |'''a)'''|| <math>y=x^2+2x+1</math> || '''b)'''|| <math>y=-x^2+2x-2,5</math> || '''c)'''|| <math>y=2x^2-2x-4</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
|<math>= | | || <math>y=2x^2+2x+1</math> || || <math>y=x^2-x-2,5</math>|| || <math>y=2x^2-3x-4</math> | ||
| | |} | ||
| | |||
{| | |||
|- | |- | ||
|<math>=- | |'''d)'''|| <math>y=-x^2+x+\frac{3}{5}</math> || '''e)'''|| <math>y=-x^2+x</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
|<math>=- | | || <math>y=-x^2+5x+\frac{3}{5}</math> || || <math>y=x^2-x</math> | ||
|} | |} | ||
</popup>}} | |||
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 18) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]]. | |||
'''a)''' Denke dir drei Funktionsterme in Normalform aus. | |||
Denke dir Werte für die Parameter a, b und c aus und setze sie ein. | |||
'''Beispiel:''' Für <math>a=1</math>, <math>b=1</math> und <math>c=-4</math> erhält man: <math>y=1\cdot x^2+1\cdot x-4</math>.</popup> | |||
'''b)''' Gib deinem Partner deine Funktionsterme und nimm dafür seine. Zeichnet die Graphen zu den Termen. | |||
<popup name="Lösung">Zur Kontrolle kannst du das unten stehende '''GeoGebra-Applet''' benutzen. | |||
Gib die Parameter der Funktionsterme ein und vergleiche deinen Graph mit dem Ergebnis im Applet.</popup> | |||
'''c)''' Vergleicht eure Ergebnisse und erklärt Schritt-für-Schritt wie ihr die Graphen erstellt habt. Notiert eine gemeinsame Schritt-für-Schritt-Anleitung in euren Hefter. | |||
<popup name="Lösungsvorschlag">1. y-Achsenabschnitt P(0|c) ablesen. | |||
2. Verschiedene x-Werte in den Term einsetzen und so die zugehörigen y-Werte bestimmen (Erstellen einer Tabelle). | |||
3. Koordinatensystem zeichnen und Punkte eintragen. | |||
4. Punkte zu einer Parabel verbinden.</popup>}} | |||
<iframe scrolling="no" title="Kopie von Die Normalform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/GBnam42z/width/750/height/499/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="750px" height="499px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
===Allgemeine Übungen=== | |||
<popup name=" | {{Übung|Teste dein Wissen und werde Punkte-Millionär: | ||
<popup name=" | |||
<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=phcsyj21c17" style="border:0px;width:70%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}} | |||
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 19) und einen Partner''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]] [[Datei:Puzzle-1020221 640.jpg|125px|rahmenlos|Partnerarbeit]]. | |||
'''a)''' Denke dir zwei Terme quadratischer Funktionen aus und notiere eine Lagebeschreibung des Graphen. | |||
<popup name="Beispiel">Die Parabel ist eine an der x-Achse gespiegelte Normalparabel. Sie ist um je eine Einheit nach rechts und nach oben verschoben. Ihr Scheitelpunkt lautet S(1|1).</popup> | |||
'''b)''' Tausche deine Beschreibungen (nicht den Term!) mit denen deines Partners aus und bestimme seine Funktionsterme. | |||
<popup name="Beispiel">Die Lösung zu dem Beispiel in Übungsteil a) lautet: <math>y=(x-1)^2+1</math>.</popup> | |||
'''c)''' Kontrolliert eure Ergebnisse gegenseitig. Habt ihr die richtigen Terme gefunden? Wenn nicht, versucht gemeinsam eure Fehler aufzudecken und zu klären. | |||
}} | |||
=='''Von der Scheitelpunkt- zur Normalform'''== | |||
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 20)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
Forme die folgenden Terme in Scheitelpunktform in Normalform um: | |||
<math>(1)y=(x-2)^2+3</math> <math>(4)y=(x-1,5)^2-7</math> <math>(7)y=(x+4)^2+2</math> | |||
<math>(2)y=-(x+5)^2+25</math> <math>(5)y=2(x+7)^2-35</math> <math>(8)y=-3(x-6)^2</math> | |||
<math>(3)y=4(x-1)^2+0,5</math> <math>(6)y=(x+0,5)^2+0,75</math> <math>(9)y=0,5(x-2)^2-16</math> | |||
<popup name="Lösung"> | |||
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|'''Funktionsterm | |'''Funktionsterm (1)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' ||'''Funktionsterm (6)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' | ||
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|<math>y=(x-2)^2+3</math>|| Klammer auflösen ||<math>y=(x+0,5)^2+0,75</math>|| Klammer auflösen | |||
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|<math> | |<math>=(x-2)(x-2)+3</math>|| Klammer ausmultiplizieren ||<math>=(x+0,5)(x+0,5)+0,75</math>|| Klammer ausmultiplizieren | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
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|- | |- | ||
|<math>= | |<math>=x^2-2x-2x+4+3</math>|| Zusammenfassen ||<math>=x^2+0,5x+0,5x+0,25+0,75</math>|| Zusammenfassen | ||
|- | |||
| | |||
|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=x^2-4x+7</math>|| ||<math>=x^2+x+1</math> | |||
|} | |} | ||
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{| | {| | ||
|- | |- | ||
|'''Funktionsterm | |'''Funktionsterm (2)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' ||'''Funktionsterm (7)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' | ||
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|<math>y=-(x+5)^2+25</math>|| Klammer auflösen ||<math>y=(x+4)^2+2</math>|| Klammer auflösen | |||
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|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=-((x+5)(x+5))+25</math>|| innere Klammer ausmultiplizieren ||<math>=(x+4)(x+4)^2+2</math>|| Klammer ausmultiplizieren | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
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| | | | ||
|- | |- | ||
|<math> | |<math>=-(x^2+5x+5x+25)+25</math>|| Klammer ausmultiplizieren ||<math>=x^2+4x+4x+16+2</math>|| Zusammenfassen | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Zeile 102: | Zeile 205: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
|<math>=- | |<math>=-x^2-10x-25+25</math>|| Zusammenfassen ||<math>=x^2+8x+18</math>|| | ||
|- | |||
| | |||
|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=-x^2-10x</math>|| || | |||
|} | |} | ||
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{| | {| | ||
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|'''Funktionsterm | |'''Funktionsterm (3)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' ||'''Funktionsterm (8)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' | ||
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|<math>y=4(x-1)^2+0,5</math>|| Klammer auflösen ||<math>y=-3(x-6)^2</math>|| Klammer auflösen | |||
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|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=4((x-1)(x-1))+0,5</math>|| innere Klammer ausmultiplizieren ||<math>=-3((x-6)(x-6))</math>|| innere Klammer ausmultiplizieren | |||
|- | |||
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|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=4(x^2-x-x+1)+0,5</math>|| Klammer ausmultiplizieren ||<math>=-3(x^2-6x-6x+36)</math>|| Klammer ausmultiplizieren | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Zeile 114: | Zeile 241: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
|<math> | |<math>=4x^2-4x-4x+4+0,5</math>|| Zusammenfassen ||<math>=-3x^2+18x+18x-108</math>|| Zusammenfassen | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Zeile 120: | Zeile 247: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
|<math>= | |<math>=4x^2-8x+4,5</math>|| ||<math>=-3x^2+36x-108</math> | ||
|} | |} | ||
Zeile 126: | Zeile 253: | ||
{| | {| | ||
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|'''Funktionsterm | |'''Funktionsterm (4)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' ||'''Funktionsterm (9)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' | ||
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| | |||
|- | |||
|<math>y=(x-1,5)^2-7</math>|| Klammer auflösen ||<math>y=0,5(x-2)^2-16</math>|| Klammer auflösen | |||
|- | |||
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|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=(x-1,5)(x-1,5)-7</math>|| Klammer ausmultiplizieren ||<math>0,5((x-2)(x-2))-16</math>|| innere Klammer ausmultiplizieren | |||
|- | |||
| | |||
|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=x^2-1,5x-1,5x+2,25-7</math>|| Zusammenfassen ||<math>=0,5(x^2-2x-2x+4)-16</math>|| Klammer ausmultiplizieren | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Zeile 132: | Zeile 277: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
|<math> | |<math>=x^2-3x-4,75</math>|| ||<math>=0,5x^2-x-x+2-16</math>|| Zusammenfassen | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Zeile 138: | Zeile 283: | ||
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|- | |- | ||
| | | || ||<math>=0,5x^2-2x-14</math> | ||
| | |} | ||
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|'''Funktionsterm (5)'''|| '''Schritt-für-Schritt-Anleitung''' | |||
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|<math>y=2(x+7)^2-35</math>|| Klammer auflösen | |||
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|- | |||
|<math>=2((x+7)(x+7))-35</math>|| Klammer ausmultiplizieren | |||
|- | |||
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|- | |||
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|- | |||
|<math>=2(x^2+7x+7x+49)-35</math>|| Zusammenfassen | |||
|- | |||
| | |||
|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=2x^2+14x+14x+98-35</math> | |||
|- | |||
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|- | |||
| | |||
|- | |||
|<math>=2x^2+28x+63</math> | |||
|}</popup> | |||
}} | |||
=='''Quadratische Funktionen anwenden'''== | |||
{{Übung|Diese Aufgabe befindet sich auch in den Kapiteln zur [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Scheitelpunktform|Scheitelpunktform]] und zur [[Quadratische Funktionen erforschen/Die Normalform|Normalform]]. Du kannst sie hier erneut als Übung verwenden, indem du die Bilder bearbeitest, die du dort ausgelassen hast. | |||
Finde Werte für a, d und e bzw. a, b und c, so dass <math>f(x)</math> bzw. <math>g(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. | |||
<iframe | <iframe scrolling="no" title="Übung: Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Jymnn6u8/width/895/height/610/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
<popup name="Lösungsvorschläge"> | |||
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben. | |||
'''Scheitelpunktform:''' | |||
{ | {| class="wikitable" | ||
|- | |||
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e | |||
|- | |||
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00 | |||
|- | |||
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10 | |||
|- | |||
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50 | |||
|- | |||
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40 | |||
|- | |||
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60 | |||
|- | |||
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65 | |||
|- | |||
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50 | |||
|- | |||
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20 | |||
|- | |||
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70 | |||
|} | |||
'''Normalform:''' | |||
{| class="wikitable" | |||
|- | |||
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter b !! Parameter c | |||
|- | |||
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13x^2+1.82x-1.52</math> || -0.14 ≤ a ≤ -0.13 || 1.82 ≤ b ≤ 1.95 || -1.85 ≤ c ≤ -1.52 | |||
|- | |||
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04x^2-0.46x+2.30</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || -0.40 ≤ b ≤ -0.50 || 2.05 ≤ c ≤ 2.30 | |||
|- | |||
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33x^2+3.20x-2.46</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 3.15 ≤ b ≤ 3.35 || -2.95 ≤ c ≤ -2.45 | |||
|- | |||
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40x^2-2.00x+6.85</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 1.80 ≤ b ≤ 2.00 || 6.35 ≤ c ≤ 6.85 | |||
|- | |||
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33x^2-3.86x+14.69</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || -4.10 ≤ b ≤ -3.60 || 13.65 ≤ c ≤ 14.95 | |||
|- | |||
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22x^2-4.14x+23.04</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || -3.40 ≤ b ≤ -5.05 || 19.70 ≤ c ≤ 27.20 | |||
|- | |||
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2x^2+2.16x-3.53</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.15 || 1.55 ≤ b ≤ 3.30 || -6.35 ≤ c ≤ -1.70 | |||
|- | |||
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07x^2+1.08x+1.79</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 0.85 ≤ b ≤ 1.30 || 0.95 ≤ c ≤ 1.79 | |||
|- | |||
| Basketball || <math>f(x)=-0.32x^2+4.16x-7.07</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 3.80 ≤ b ≤ 4.40 || -7.40 ≤ c ≤ -6.10 | |||
|} | |||
</popup>}} | </popup>}} | ||
{{Übung|'''Für diese Übung benötigst du deinen Hefter (Lernpfadaufgaben, S. 21)''' [[Datei:Notepad-117597.svg|40px|Notizblock mit Bleistift|verweis=Datei:Notepad-117597.svg]]. | |||
{{ | |||
[[Datei: | |||
[[Datei:Aufgabe Terrasse für Kiosk.PNG|rahmenlos|700px|Übungsaufgabe]] | |||
<popup name="Lösung">'''a)''' <math>A(2)=2 \cdot (20-2)=2 \cdot 18=36</math>, <math>A(4)=4 \cdot (20-4)=4 \cdot 16=64</math>, <math>A(10)=10 \cdot (20-10)=10 \cdot 10=100</math> | |||
Für x = 2 m beträgt der Flächeninhalt der Terrasse 36 m<sup>2</sup>. Ist die Seitenlänge x = 4 m, dann beträgt der Flächeninhalt der Terrasse 64 m<sup>2</sup>. Bei einer Seitenlänge von x = 10 m beträgt der Flächeninhalt 100 m<sup>2</sup>. | |||
Hinweis: Hier kannst du auch andere Werte x eingesetzt haben. Um eine sinnvolle Lösung zu erhalten darf x weder kleiner 0 m noch größer als 20 m sein. In den Fällen würdest du einen negativen Flächeninhalt erhalten. | |||
'''b)''' <math>A(x)=x \cdot (20-x)</math> | |||
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: <math>A=a \cdot b</math>, wobei a und b die Seitenlängen des Rechtecks beschreiben. Für die Terrasse gilt: <math>a=x</math> und <math>b=20-x</math>.</popup>}} |
Version vom 5. September 2017, 07:58 Uhr
Parameter
Scheitelpunktform
Übung
{{{1}}}
Übung
{{{1}}}
Übung
{{{1}}}
Normalform
Übung
Übung
c) ablesen.
2. Verschiedene x-Werte in den Term einsetzen und so die zugehörigen y-Werte bestimmen (Erstellen einer Tabelle).
3. Koordinatensystem zeichnen und Punkte eintragen.
4. Punkte zu einer Parabel verbinden.</popup>
Allgemeine Übungen
Übung
Teste dein Wissen und werde Punkte-Millionär:
Übung
{{{1}}}
Von der Scheitelpunkt- zur Normalform
Übung
Quadratische Funktionen anwenden
Übung
- ! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
Übung
{{{1}}}