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| {{Navigation verstecken | | {{Geschichte/Navigation}} |
| |{{Lernpfad Inhalt}}
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| __NOTOC__
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| ==Der Kegel - Eine kleine Einführung==
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| <br>
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| In der vorherigen Lerneinheit hast du die Pyramide mit einem beliebigen Vieleck als Grundfläche kennengelernt.<br>
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| Ersetzt man nun das Vieleck der Grundfläche durch einen Kreis, so erhält man einen verwandten '''Spitzkörper:den Kegel'''! <br>
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| <br><br>
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| [[Datei:Eistüte_umgedreht.jpg|120px]] <span style="color:lightgrey">. . . .</span>[[Datei:Kegel_Pylon.jpg|180px]]<span style="color:lightgrey">. . . .</span> [[Datei:DSC04737 Istanbul - La Moschea Blu - Minareti - Foto G. Dall'Orto 29-5-2006.jpg|180px]]<span style="color:lightgrey">. . . .</span> [[Datei:Turmspitze.jpg|240px]]<br>
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| Ob Eistüte, Pylonen oder Turmspitzen, man findet sehr häufig kegelförmige Objekte in unserer Lebenswelt.
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| <br><br><br><br>
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| ==Eigenschaften des Kegels==
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| <br>
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| {{Box|Aufgabe 1|2=
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| '''Fülle den Lückentext aus!'''
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| <br>
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Ein '''Kegel''' ist ein Körper, dessen '''Grundfläche''' ein '''Kreis''' (Grundkreis) ist. <br>
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| Die '''Mantelfläche''' des Kegels ist gewölbt. Der Abstand der Spitze S zur Grundfläche ist die '''Höhe''' des Kegels. Eine Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Kegelspitze heißt '''Mantellinie''' und wird mit "s" beschriftet. <br>
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| Ebenso wie bei der Pyramide unterscheidet man auch hier zwischen '''geraden''' (senkrechten) und '''schiefen''' Kegeln. Schaue dir dazu das folgende Geogebra-Applet an. <br>
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| Für uns sind allerdings nur gerade Kegel von Bedeutung.
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| </div>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| '''Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.'''
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| <center><ggb_applet id="FFpfAu6U" width="416" height="347" border="888888" /></center>
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| ==Mantelfläche und Mantelflächeninhalt==
| | '''''Sieben-Fünf-Drei - Rom schlüpft aus dem Ei!''''' |
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| {{Box|1=Aufgabe 2|2= | | {{clear}} |
| '''Die Mantelfläche des Kegels'''
| | == Wahrheit oder Legende? == |
| | {{2Spalten| |
| | [[File:Capitoline she-wolf Musei Capitolini MC1181.jpg|450px|Die kapitolinische Wölfin säugt die Knaben Romulus und Remus, Bronze, Kapitolinische Museen]] |
| | {{clear}} |
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| a) Stelle dir vor, du schneidest einen senkrechten Kegel entlang einer Mantellinie auf und breitest den Mantel eben aus. Beschreibe die geometrische Figur, die du für die Mantelfläche erhälst.
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| <span style="color:green">Beispiel:</span> <br> Die Mantelfläche des Zylinders ist ein Rechteck. Die Breite des Rechtecks ist gleich der Höhe des Zylinders, die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Zylinders.
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| {{Lösung versteckt|1=
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| <div class="schuettel-quiz">
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| Die Mantelfläche des Kegels ist ein '''Kreisausschnitt''' (Kreissektor). Der '''Radius''' des Kreisausschnittes ist die '''Länge''' der '''Mantellinie''' s. Die '''Bogenlänge''' b ist der '''Umfang''' des Kegels.
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| </div>
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| }}<br>
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| b) Zeichne die Mantelfläche eines Kegels und beschrifte sie entsprechend. <br>
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| [[Datei:Kegel_Mantelfläche.jpg|400px]]
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| {{Lösung versteckt|1=
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| [[Datei:Kegel_Mantelfläche2.jpg|690px]]
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br><br>
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| {{Box|1=Aufgabe 3|2=
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| '''Der Mantelflächeninhalt des Kegels''' <br>
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| Der Mantelflächeninhalt des Kegels berechnet sich über folgende Formel:<br>
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| <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s=\pi \cdot r\cdot s</math> <br><br>
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| '''Versuche diese Formel herzuleiten!''' <br>
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| Gehe dazu schrittweise vor und zeige zuerst, dass <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math> ist. Nutze auch die beschriftete Zeichnung der Mantelfläche als Hilfestellung!
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. <br>
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| *<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>
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| |2=Hinweis anzeigen|3=Hinweis ausblenden}}
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| Hier findest du verschiedene Tipps, wie du vorgehen kannst (wenn du nicht weiter kommst).
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| {{Lösung versteckt|1=
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| * Stelle zunächst eine Formel für die Bogenlänge b (bzw. den "Umfang" des Kreisausschnittes) und für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes (also den Mantelflächeninhalt des Kegels) auf.<br>
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| * Stelle nun einen Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes her!
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= '''Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Flächeninhalt des Kreisausschnittes:'''<br>
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| Stelle die Formel für die Bogenlänge b nach <math>\pi </math> um und setze dies in die Formel für den Mantelflächeninhalt des Kegels ein! Nun kannst du noch kürzen und du erhälst die Formel <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math>.
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Die Bogenlänge b ist gleich dem Umfang des Kegels mit Radius r! Somit kannst du für b oben die Formel für den Kegelumfang einsetzen, kürzen und du erhälst die Formel <br>
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| <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s=\pi \cdot r\cdot s</math>
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 4|2=
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| '''Der Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math> des Kreissektors (bzw. der Mantelfläche)''' <br>
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| Stelle eine Gleichung zur Berechnung des Mittelpunktwinkels <math>\alpha </math> auf!
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| {{Lösung versteckt|1= Dazu muss man eine Verhältnisgleichung aufstellen!
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= Der Winkel <math>\alpha </math> des Kreisausschnitts verhält sich zum Winkel des vollen Kreises wie ...
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| {{Lösung versteckt|1= ... die Bogenlänge des Kreisausschnittes (=Umfang des Kegels mit Radius r) zum Umfang des vollen Kreises mit Radius s!
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| |2=Tipp anzeigen|3=Tipp ausblenden}}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| '''Anmerkung:'''<br><br> | | '''Gründungssage''' |
| Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math>, dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:<br>
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| <math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>
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| Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!
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| | * griechische + göttliche Herkunft |
| | * in Schilfkorb ausgesetzt |
| | * von Wölfin aufgezogen |
| | * Gründung einer Stadt am Fundort |
| | * Brudermord an Remus<br>''Romulus: „So soll es jedem ergehen, der meine Mauer überspringt.“'' |
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| ==Oberfläche und Oberflächeninhalt==
| | → '''Legende''': |
| | * mündlich überliefert |
| | * geschichtlicher Kern - ein Körnchen Wahrheit |
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| {{Box|1=Aufgaben 5|2=
| | * personifizierend |
| Notiere auf deinem Laufzettel, wie sich die Oberfläche eines Kegels zusammensetzt und stelle eine Formel für den Oberflächeninhalt auf. <br><br>
| | * heroisierend |
| {{Lösung versteckt|1=
| | ** ein Mensch vollbringt Wunder |
| Die Oberfläche eines Kegels setzt sich aus einem Kreis mit Radius r (Grundfläche) und einem Kreisausschnitt mit Radius s und Bogenlänge b zusammen. <br>
| | ** ist göttlich/ heldenhaft |
| <math>O_{K}=G+M=\pi r^{2}+\pi r\cdot s</math>
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| | [[Datei%3ADie_sieben_Hügel_Roms_de.svg|450px|Die sieben Hügel Roms]] |
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| ==Volumen des Kegels==
| | '''historische Wirklichkeit''' |
| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 6|2=
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| '''Experimentelle Bestimmung des Kegelvolumens''' mit Hilfe der beiden abgebildeten Füllkörper:<br> | |
| <center>[[Datei:Füllkörper_Kegel_Zylinder.jpg|300px]]</center>
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| Das Experiment wird vor der gesamten Klasse durchgeführt!
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| <br><br>
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| '''Beschreibe das Experiment auf deinem Laufzettel und notiere das Ergebnis!'''
| | archäologische Funde (Ausgrabungen) |
| |3=Arbeitsmethode}}
| | * Gräber in Niederungen |
| | * Hütten auf Hügeln |
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| <br><br>
| | Standortfaktoren |
| {{Box|1=Aufgabe 7|2=
| | * fruchtbares Land |
| '''Herleitung des Kegelvolumens'''<br>
| | * Tiber: |
| | ** Trinkwasser, |
| | ** Fischfang, |
| | ** Schifffahrt 25 km bis zum Meer |
| | ** Furt (seichte Stelle zum Durchwaten) |
| | * Kreuzung mit Handelswegen |
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| Beweise, dass ein Kegel und eine Pyramide mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auch gleiches Volumen besitzen! <br>
| | *Hügel |
| Nutze dazu auch das folgende Geogebra-Applet, bei dem du dich im ersten Schritt '''anschaulich''' von der Richtigkeit der Aussage überzeugen kannst. Schreibe anschließend einen allgemeingültigen Beweis auf.
| | ** trocken, |
| <ggb_applet id="bPeH6yeB" width="100%" height="450" border="888888" />
| | ** gute Aussicht, Verteidigung |
| {{Lösung versteckt|1=
| |
| Der Beweis kann analog zu dem Beweis aus Aufgabe 5 der Lerneinheit "Rund um die Pyramide" geführt werden (Volumenvergleich zweier Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe)!<br>
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| '''Stichworte: Zentrische Streckung!'''
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| }} | | }} |
| |3=Arbeitsmethode}}
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| Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!
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| ==Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel==
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| <br>
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| {{Box|1=Aufgabe 8|2=
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| Aus einem Kreisausschnitt wird ein Trichter geformt (s. Abbildung). Welches Volumen fasst der Trichter? <br>
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| [[Datei:Übung_Kegel_Trichter.jpg|560px]]
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| {{Lösung versteckt|1=
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| Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels. <br>
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| Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:
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| <math>b=2\pi s\cdot \frac {\alpha } {360^{o} }=\pi s\cdot \frac {\alpha } {180^{o} }=\pi \cdot 20cm \cdot \frac {120^{o} } {180^{o} }=\frac {40\pi } {3} cm \approx 41,89cm</math>
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| Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also <math>b=2\pi r</math>! <br><br>
| | '''Fazit''' (Ergebnis): |
| <math>\Rightarrow r= \frac {b} {2\pi }=\frac {40\pi } {3} \cdot \frac {1} {2\pi } cm= \frac {20} {3}cm \approx 6,67 cm</math>
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| Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!): <br>
| | Auch wenn man nicht genau sagen kann, was von der Gründungssage wahr ist, entwickelte sich aus den Siedlungen auf den 7 Hügeln von Rom eine Weltstadt. |
| <math>h=\sqrt {s^{2}-r^{2} }= \sqrt {\left(20cm\right)^{2}-\left(\frac {20} {3}cm\right)^{2} } = \sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} } \approx 18,86 cm</math> <br>
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| <span style="color:green">''(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also <math>\sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} }=\frac {20} {3}\cdot \sqrt {8}cm</math>)''</span> <br>
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| Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden: <br>
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| <math>V=\frac {1} {3}\pi r^{2}\cdot h= \frac {1} {3} \pi \cdot \left(\frac {20} {3}\right)^{2} \cdot \sqrt {\frac {3200} {9} }cm \approx 877,61 cm^{3}</math>
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| Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!
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| }}
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Aufgabe 9|2= | | == Interaktive Übung === |
| Bearbeite im Buch (Lambacher Schweizer, Ausgabe 2010) auf Seite 26 Nr. 6 a), b) und c)! <br><br>
| | {{H5p-zum|id=2986|height=600}} |
| ODER <br><br>
| |
| Bearbeite im Buch (Fokus Mathematik, Ausgabe 2016) auf Seite 49 Nr. 14! <br><br>
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| ''Die Lösungen werden gemeinsam in der Klasse besprochen!''
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| |3=Arbeitsmethode}} | |
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| | == Weblinks == |
| | * {{wpde|Rom#Gründung|Gründungssage}} |
| | * [http://www.kinderzeitmaschine.de/antike/kultur/rom/epoche/koenigszeit/ereignis/gruendung-roms.html?no_cache=1&ht=3&ut1=8&ut2=50 Gründungssage] (Kinderzeitmaschine) |
| | * [https://www2.klett.de/sixcms/media.php/229/SI_ausf_L13.pdf Die Ursprünge Roms – Legende und Wirklichkeit].pdf (klett.de) |
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| {{Fortsetzung|weiter=Zusatzaufgaben|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}
| | [[Kategorie:Geschichte]] |
| [[Kategorie:Mathematik]]
| | [[Kategorie:Römisches Reich]] |
| [[Kategorie:ZUM2Edutags]]
| | [[Kategorie:Unterrichtsidee]] |
| [[Kategorie:Interaktive Übung]] | |
| [[Kategorie:GeoGebra]] | |
| [[Kategorie:R-Quiz]] | |
